Cálculo de una integral mediante cambio de variable

**(a) [1 punto] Expresa $I$ haciendo el cambio de variable $t^2 = e^{-x}$.** Para expresar la integral en función de $t$, primero calculamos el diferencial $dx$ derivando en ambos lados de la igualdad del cambio propuesto $t^2 = e^{-x}$: $$2t \, dt = -e^{-x} \, dx$$ Como sabemos que $e^{-x} = t^2$, sustituimos en la expresión del diferencial: $$2t \, dt = -t^2 \, dx \implies dx = \frac{2t}{-t^2} \, dt = -\frac{2}{t} \, dt$$ Ahora sustituimos tanto la expresión de la raíz como la de $dx$ en la integral original: $$I = \int \frac{5}{1 + \sqrt{t^2}} \left( -\frac{2}{t} \right) dt = \int \frac{5}{1 + t} \left( -\frac{2}{t} \right) dt$$ Operando el producto, obtenemos la expresión de la integral en función de $t$: ✅ **Resultado (Expresión de $I$):** $$\boxed{I = \int \frac{-10}{t(1 + t)} \, dt}$$

**(b) [1’5 puntos] Determina $I$.** La integral obtenida es una integral racional donde el grado del numerador es menor que el del denominador. Descomponemos el integrando en fracciones simples: $$\frac{-10}{t(1+t)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{1+t}$$ Multiplicamos por el denominador común $t(1+t)$ para hallar los coeficientes: $$-10 = A(1+t) + Bt$$ - Si **$t = 0$**: $-10 = A(1+0) \implies A = -10$. - Si **$t = -1$**: $-10 = B(-1) \implies B = 10$. Por tanto, la integral se puede escribir como: $$I = \int \left( \frac{-10}{t} + \frac{10}{1+t} \right) dt$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para resolver $\frac{P(x)}{Q(x)}$, si $Q(x)$ tiene raíces reales distintas, buscamos una suma de fracciones del tipo $\frac{A}{x-a}$.

Integramos cada término por separado, ya que son integrales inmediatas de tipo logarítmico: $$I = -10 \ln|t| + 10 \ln|1+t| + C$$ Usando las propiedades de los logaritmos ($\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$), simplificamos la expresión: $$I = 10 \ln \left| \frac{1+t}{t} \right| + C$$ Finalmente, deshacemos el cambio de variable. Como $t^2 = e^{-x}$, entonces $t = \sqrt{e^{-x}} = e^{-x/2}$: $$I = 10 \ln \left| \frac{1+e^{-x/2}}{e^{-x/2}} \right| + C$$ Podemos simplificar aún más el interior del logaritmo: $$\frac{1+e^{-x/2}}{e^{-x/2}} = \frac{1}{e^{-x/2}} + \frac{e^{-x/2}}{e^{-x/2}} = e^{x/2} + 1$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{I = 10 \ln(1 + e^{x/2}) + C}$$