Optimización de las dimensiones de una hoja de papel

Para resolver este problema de optimización, primero debemos definir las variables que representan las dimensiones de la zona de texto y de la hoja completa. Sean: - $x$: el ancho de la zona de texto (en cm). - $y$: el alto de la zona de texto (en cm). Sabemos que el área del texto es constante: $$x \cdot y = 18 \implies y = \frac{18}{x}$$ Ahora determinamos las dimensiones totales de la hoja sumando los márgenes: - Ancho total de la hoja: $W = x + 1 + 1 = x + 2$ - Alto total de la hoja: $H = y + 2 + 2 = y + 4$ La función que queremos minimizar es el área total de la hoja, $S$: $$S = (x + 2) \cdot (y + 4)$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre es útil identificar la función objetivo (lo que queremos minimizar o maximizar) y la ecuación de ligadura (la relación entre variables).

Sustituimos la relación $y = \dfrac{18}{x}$ en la función del área total $S$: $$S(x) = (x + 2) \left( \frac{18}{x} + 4 \right)$$ Operamos para simplificar la expresión: $$S(x) = x \cdot \frac{18}{x} + 4x + \frac{36}{x} + 8$$ $$S(x) = 18 + 4x + \frac{36}{x} + 8$$ $$S(x) = 4x + \frac{36}{x} + 26$$ El dominio de esta función, dado el contexto físico, es $x \gt 0$. $$\boxed{S(x) = 4x + \frac{36}{x} + 26}$$

Para hallar el mínimo, calculamos la primera derivada de $S(x)$ e igualamos a cero. $$S'(x) = \frac{d}{dx} \left( 4x + 36x^{-1} + 26 \right) = 4 - \frac{36}{x^2}$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$4 - \frac{36}{x^2} = 0 \implies 4 = \frac{36}{x^2} \implies x^2 = \frac{36}{4} = 9$$ Como $x$ debe ser positivo (es una longitud), tomamos la raíz positiva: $$x = \sqrt{9} = 3 \text{ cm}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\frac{k}{x}$ es $-\frac{k}{x^2}$.

Estudiamos el signo de $S'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico $x=3$ dentro del dominio $(0, +\infty)$: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 3) & 3 & (3, +\infty) \\ \hline S'(x) = 4 - \frac{36}{x^2} & - & 0 & + \\ S(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array} $$ - Si $x \in (0, 3)$, por ejemplo $x=1$, $S'(1) = 4 - 36 = -32 \lt 0$, la función decrece. - Si $x \in (3, +\infty)$, por ejemplo $x=4$, $S'(4) = 4 - \frac{36}{16} = 4 - 2.25 = 1.75 \gt 0$, la función crece. Confirmamos que en **$x = 3$ hay un mínimo relativo** (y absoluto para $x \gt 0$).

Una vez hallado el valor de $x$, calculamos $y$ y las dimensiones totales de la hoja. Para $x = 3$: $$y = \frac{18}{x} = \frac{18}{3} = 6 \text{ cm}$$ Las dimensiones de la hoja son: - **Ancho:** $W = x + 2 = 3 + 2 = 5 \text{ cm}$ - **Alto:** $H = y + 4 = 6 + 4 = 10 \text{ cm}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Ancho: } 5 \text{ cm}, \text{ Alto: } 10 \text{ cm}}$$