Puntos coplanarios y plano perpendicular a un segmento

**(a) [1’25 puntos] Determina el valor de $t$ para que $A, B, C$ y $D$ estén en el mismo plano.** Cuatro puntos $A, B, C$ y $D$ son coplanarios si los vectores formados por ellos, por ejemplo $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$, son linealmente dependientes. Esto ocurre cuando el determinante de la matriz formada por sus componentes es igual a cero. Primero, calculamos los vectores tomando $A$ como origen: $$\vec{AB} = B - A = (-1-1, 2-1, 0-1) = (-2, 1, -1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (2-1, 1-1, 2-1) = (1, 0, 1)$$ $$\vec{AD} = D - A = (t-1, -2-1, 2-1) = (t-1, -3, 1)$$ 💡 **Tip:** Para que cuatro puntos sean coplanarios, el volumen del paralelepípedo que forman debe ser cero, lo que equivale a decir que su producto mixto es nulo: $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$.

Planteamos el determinante e igualamos a cero: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ t-1 & -3 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$[(-2) \cdot 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (t-1) + (-1) \cdot 1 \cdot (-3)] - [(-1) \cdot 0 \cdot (t-1) + 1 \cdot 1 \cdot (-2) + 1 \cdot (-3) \cdot 1] = 0$$ $$[0 + (t-1) + 3] - [0 - 2 - 3] = 0$$ $$t + 2 - (-5) = 0$$ $$t + 2 + 5 = 0$$ $$t + 7 = 0 \implies t = -7$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = -7}$$

**(b) [1’25 puntos] Halla la ecuación de un plano perpendicular al segmento determinado por $A$ y $B$, que contenga al punto $C$.** Si el plano es perpendicular al segmento $AB$, el vector $\vec{AB}$ es un vector normal al plano (vector perpendicular al plano). Ya hemos calculado el vector $\vec{AB}$ en el apartado anterior: $$\vec{n} = \vec{AB} = (-2, 1, -1)$$ La ecuación general de un plano viene dada por $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal. Sustituimos las componentes de $\vec{n}$: $$-2x + 1y - 1z + D = 0 \implies -2x + y - z + D = 0$$ 💡 **Tip:** Si prefieres trabajar con valores positivos, puedes usar el vector opuesto $\vec{BA} = (2, -1, 1)$ como normal, lo que resultaría en la misma ecuación multiplicada por $-1$.

Para hallar el valor de $D$, imponemos la condición de que el punto $C(2, 1, 2)$ pertenece al plano: $$-2(2) + 1(1) - 1(2) + D = 0$$ $$-4 + 1 - 2 + D = 0$$ $$-5 + D = 0 \implies D = 5$$ Sustituimos $D$ en la ecuación del plano: $$-2x + y - z + 5 = 0$$ O multiplicando por $-1$ para una forma más habitual: $$2x - y + z - 5 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{2x - y + z - 5 = 0}$$