Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**(a) [1’75 puntos] Discútelo según los valores de $m$.** Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} m+2 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & m & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} m+2 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & m & -1 & m \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema, calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} m+2 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & m & -1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(m+2)(-1)(-1) + (-1)(m)(-1) + (1)(-1)(1)] - [1(-1)(-1) + (m+2)(m)(1) + (-1)(-1)(-1)]$$ $$|A| = [m+2 + m - 1] - [1 + m^2 + 2m - 1]$$ $$|A| = 2m + 1 - m^2 - 2m = 1 - m^2$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Capelli nos permite determinar el tipo de sistema comparando el rango de la matriz de coeficientes ($A$), el de la ampliada ($A^*$) y el número de incógnitas ($n$). $$\boxed{|A| = 1 - m^2}$$

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $m$ que cambian el rango de $A$: $$1 - m^2 = 0 \implies m^2 = 1 \implies m = 1 \quad \text{y} \quad m = -1$$ Estos valores dividen el estudio en tres casos fundamentales. 💡 **Tip:** Si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema siempre será Compatible Determinado.

Si $m \neq 1$ y $m \neq -1$, entonces $|A| \neq 0$. En este caso, el rango de $A$ es igual al rango de $A^*$, y ambos son iguales al número de incógnitas: $$\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n$$ Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una **solución única**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \neq 1, -1 \implies \text{SCD (Solución única)}}$$

Si $m = 1$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Analizamos las matrices sustituyendo $m=1$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right)$$ Buscamos el rango de $A$ tomando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -3 - 1 = -4 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Para el rango de $A^*$, observamos que la tercera fila ($F_3$) es igual a la segunda fila ($F_2$) multiplicada por $-1$ ($F_3 = -F_2$). Esto significa que no aporta información nueva y el rango no puede ser 3. Como $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) = 2$, pero el número de incógnitas es $n=3$: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$$ Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**, tiene **infinitas soluciones**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 1 \implies \text{SCI (Infinitas soluciones)}} $$

Si $m = -1$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Sustituimos $m=-1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & -1 \end{array}\right)$$ Buscamos el rango de $A$ con un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$ comprobando si algún menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes es distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = (1+1+1) - (-1+1+1) = 3 - 1 = 2 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 3$$ Alternativamente, se observa que la primera y tercera ecuación son contradictorias ($x-y-z=1$ y $x-y-z=-1$). Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)**, **no tiene solución**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = -1 \implies \text{SI (Sin solución)}}$$

**(b) [0’75 puntos] Resuélvelo para el caso $m = 1$.** Como hemos visto, para $m=1$ el sistema es SCI. Usamos las dos primeras ecuaciones (ya que el menor de orden 2 que usamos para el rango pertenecía a ellas) y eliminamos la tercera por ser dependiente ($F_3 = -F_2$): $$\begin{cases} 3x - y - z = 1 \\ -x - y + z = -1 \end{cases}$$ Pasamos una de las incógnitas al otro miembro como parámetro, por ejemplo $x = \lambda$: $$\begin{cases} -y - z = 1 - 3\lambda \\ -y + z = -1 + \lambda \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones para eliminar $y$: $$(-y - z) + (-y + z) = (1 - 3\lambda) + (-1 + \lambda) \implies -2y = -2\lambda \implies y = \lambda$$ Sustituimos $y$ en la segunda ecuación: $$-\lambda + z = -1 + \lambda \implies z = 2\lambda - 1$$ 💡 **Tip:** En un SCI con rango 2 y 3 incógnitas, la solución depende de 1 parámetro ($3 - 2 = 1$). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = \lambda, \quad y = \lambda, \quad z = 2\lambda - 1, \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$