Recta normal y área entre logaritmo, recta y eje

**(a) [0’75 puntos] Comprueba que la recta de ecuación $y = -ex + 1 + e^2$ es la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = e$.** Para hallar la recta normal, primero necesitamos calcular el punto de tangencia y la pendiente de la recta tangente en $x = e$. 1. **Punto de tangencia:** Sustituimos $x = e$ en la función $f(x) = \ln x$: $$f(e) = \ln e = 1$$ El punto de contacto es $(e, 1)$. 2. **Pendiente de la tangente ($m_t$):** Calculamos la derivada de $f(x)$: $$f'(x) = \frac{1}{x}$$ La pendiente de la recta tangente en $x = e$ es: $$m_t = f'(e) = \frac{1}{e}$$ 💡 **Recuerda:** La pendiente de la recta tangente en un punto $a$ es el valor de la derivada $f'(a)$.

La recta normal es perpendicular a la recta tangente. Su pendiente ($m_n$) se obtiene mediante la relación $m_n = -\frac{1}{m_t}$. $$m_n = -\frac{1}{1/e} = -e$$ Utilizamos la ecuación punto-pendiente con el punto $(e, 1)$: $$y - y_0 = m_n(x - x_0) \implies y - 1 = -e(x - e)$$ Operamos para llegar a la forma explícita: $$y - 1 = -ex + e^2$$ $$y = -ex + 1 + e^2$$ Comprobamos que coincide exactamente con la ecuación del enunciado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = -ex + 1 + e^2 \text{ es la recta normal en } x=e}$$

**(b) [1’75 puntos] Calcula el área de la región limitada por la gráfica de $f$, el eje de abscisas y la recta normal del apartado (a).** Para calcular el área, primero identificamos los límites de la región: 1. **Corte de $f(x) = \ln x$ con el eje OX ($y=0$):** $$\ln x = 0 \implies x = e^0 = 1$$ 2. **Corte de la recta normal con el eje OX ($y=0$):** $$0 = -ex + 1 + e^2 \implies ex = 1 + e^2 \implies x = \frac{1+e^2}{e} = e + \frac{1}{e}$$ 3. **Corte entre la curva y la recta:** Ya sabemos por el apartado (a) que se cortan en $x = e$. La región se divide en dos recintos: - De $x = 1$ a $x = e$: limitada por $f(x) = \ln x$ y el eje OX. - De $x = e$ a $x = e + \frac{1}{e}$: limitada por la recta normal y el eje OX. 💡 **Tip:** Siempre es útil identificar si una parte del área forma una figura geométrica sencilla, como un triángulo, para simplificar cálculos.

Calculamos la primera parte del área mediante integración por partes: $$I_1 = \int_{1}^{e} \ln x \, dx$$ Usamos $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ con: - $u = \ln x \implies du = \frac{1}{x} dx$ - $dv = dx \implies v = x$ $$\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - x$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$A_1 = [x \ln x - x]_1^e = (e \ln e - e) - (1 \ln 1 - 1)$$ $$A_1 = (e - e) - (0 - 1) = 1 \text{ u}^2$$

Para la segunda parte del área ($A_2$), podemos integrar la recta o darnos cuenta de que forma un **triángulo** de base $b = (e + \frac{1}{e}) - e = \frac{1}{e}$ y altura $h = f(e) = 1$. Por integración: $$A_2 = \int_{e}^{e+1/e} (-ex + 1 + e^2) \, dx = \left[ -\frac{ex^2}{2} + (1+e^2)x \right]_e^{e+1/e}$$ Sin embargo, usando la fórmula del área del triángulo es mucho más directo: $$A_2 = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2} = \frac{\frac{1}{e} \cdot 1}{2} = \frac{1}{2e} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** En selectividad, usar geometría básica para áreas de triángulos o rectángulos es totalmente válido y ahorra tiempo.

Sumamos ambas áreas para obtener el resultado final: $$A_{total} = A_1 + A_2 = 1 + \frac{1}{2e}$$ Podemos expresar el resultado como una única fracción: $$A_{total} = \frac{2e + 1}{2e} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = 1 + \frac{1}{2e} \approx 1,1839 \text{ u}^2}$$