Estudio completo de una función racional: asíntotas, monotonía y gráfica

**(a) [1 punto] Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de $f$.** Primero, identificamos el dominio de la función. El enunciado indica que $x \neq \pm 1$, por lo que el dominio es $D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$. Las **asíntotas verticales** suelen encontrarse en los puntos que anulan el denominador. Calculamos los límites laterales en $x = -1$: $$\lim_{x \to -1^-} \frac{x^3}{x^2 - 1} = \frac{(-1)^3}{0^+} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$$ $$\lim_{x \to -1^+} \frac{x^3}{x^2 - 1} = \frac{(-1)^3}{0^-} = \frac{-1}{0^-} = +\infty$$ Como los límites son infinitos, existe una **asíntota vertical en $x = -1$**. Calculamos los límites laterales en $x = 1$: $$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^3}{x^2 - 1} = \frac{1^3}{0^-} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$ $$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^3}{x^2 - 1} = \frac{1^3}{0^+} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ Como los límites son infinitos, existe una **asíntota vertical en $x = 1$**. 💡 **Tip:** Para determinar el signo del infinito, basta con evaluar el signo de la función en un punto muy cercano al valor del límite (ej. para $x \to 1^+$, probamos con $1.1$). ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = -1, \quad x = 1}$$

Para las **asíntotas horizontales**, calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x^2 - 1} = \pm\infty$$ Al ser el grado del numerador mayor que el del denominador, **no hay asíntotas horizontales**. Dado que el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el del denominador, buscamos una **asíntota oblicua** $y = mx + n$: $$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x(x^2 - 1)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x^3 - x} = 1$$ $$n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^3}{x^2 - 1} - 1 \cdot x \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - (x^3 - x)}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2 - 1} = 0$$ La asíntota oblicua es $y = 1x + 0$, es decir, **$y = x$**. 💡 **Tip:** También puedes hallar la asíntota oblicua realizando la división polinómica de $x^3$ entre $x^2 - 1$. El cociente es la asíntota. ✅ **Resultado (AO):** $$\boxed{y = x}$$

**(b) [0’75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.** Para estudiar la monotonía, calculamos la derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(3x^2)(x^2 - 1) - (x^3)(2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{3x^4 - 3x^2 - 2x^4}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^4 - 3x^2}{(x^2 - 1)^2}$$ Simplificando el numerador: $$f'(x) = \frac{x^2(x^2 - 3)}{(x^2 - 1)^2}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$x^2(x^2 - 3) = 0 \implies x = 0, \quad x = \sqrt{3}, \quad x = -\sqrt{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que los puntos donde la función no está definida ($x = \pm 1$) también deben incluirse en el estudio de la monotonía aunque no sean puntos críticos. $$\boxed{f'(x) = \frac{x^2(x^2 - 3)}{(x^2 - 1)^2}}$$

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos y las discontinuidades del dominio. El denominador $(x^2 - 1)^2$ y el factor $x^2$ siempre son positivos o cero, por lo que el signo depende de $(x^2 - 3)$. $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-\sqrt{3}) & -\sqrt{3} & (-\sqrt{3},-1) & (-1,1) & (1,\sqrt{3}) & \sqrt{3} & (\sqrt{3},+\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & - & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \searrow & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ Nota: En $x=0$ la derivada es $0$, pero como el signo de la derivada no cambia a su alrededor (se mantiene negativa), no hay un extremo relativo allí, sino un punto de inflexión de tangente horizontal. **Intervalos de crecimiento:** $(-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$ **Intervalos de decrecimiento:** $(-\sqrt{3}, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \sqrt{3})$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente: } (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty) \quad \text{Decreciente: } (-\sqrt{3}, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \sqrt{3})}$$

**(c) [0’75 puntos] Esboza la gráfica de $f$.** Para el esbozo, recopilamos la información: 1. **Puntos de corte:** $f(0) = 0$, pasa por $(0,0)$. 2. **Simetría:** $f(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2 - 1} = \frac{-x^3}{x^2 - 1} = -f(x)$. Es una función **impar** (simétrica respecto al origen). 3. **Asíntotas:** Verticales en $x = \pm 1$ y oblicua $y = x$. 4. **Extremos:** Máximo relativo en $x = -\sqrt{3} \approx -1.73$ y mínimo relativo en $x = \sqrt{3} \approx 1.73$. Calculamos las ordenadas de los extremos: $f(\sqrt{3}) = \frac{(\sqrt{3})^3}{(\sqrt{3})^2 - 1} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.6$ $f(-\sqrt{3}) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx -2.6$ Observemos la gráfica a continuación: