Área de un triángulo formado por la intersección de un plano con los ejes

Los vértices del triángulo son los puntos donde el plano $\pi: 6x + 3y + 2z = 6$ corta a los ejes de coordenadas. Para hallarlos, igualamos a cero las coordenadas correspondientes en cada caso: - **Intersección con el eje X** ($y=0, z=0$): $$6x + 3(0) + 2(0) = 6 \implies 6x = 6 \implies x = 1 \implies \mathbf{A(1, 0, 0)}$$ - **Intersección con el eje Y** ($x=0, z=0$): $$6(0) + 3y + 2(0) = 6 \implies 3y = 6 \implies y = 2 \implies \mathbf{B(0, 2, 0)}$$ - **Intersección con el eje Z** ($x=0, y=0$): $$6(0) + 3(0) + 2z = 6 \implies 2z = 6 \implies z = 3 \implies \mathbf{C(0, 0, 3)}$$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte con los ejes siempre tienen dos coordenadas nulas. Es la forma más rápida de obtener los vértices de este tipo de figuras.

Para calcular el área del triángulo formado por los puntos $A$, $B$ y $C$, utilizaremos dos vectores que partan del mismo vértice, por ejemplo, los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. Calculamos sus componentes restando las coordenadas de los puntos: $$\vec{AB} = B - A = (0 - 1, 2 - 0, 0 - 0) = (-1, 2, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0 - 1, 0 - 0, 3 - 0) = (-1, 0, 3)$$ 💡 **Tip:** No importa qué par de vectores elijas ($\vec{AB}$ y $\vec{AC}$, $\vec{BA}$ y $\vec{BC}$, etc.), el resultado del área será idéntico.

El área del triángulo es igual a la mitad del módulo del producto vectorial de estos dos vectores: $$Área = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ Primero, calculamos el producto vectorial $\vec{w} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus o desarrollando por la primera fila: $$\vec{w} = \vec{i} (2 \cdot 3 - 0 \cdot 0) - \vec{j} ((-1) \cdot 3 - 0 \cdot (-1)) + \vec{k} ((-1) \cdot 0 - 2 \cdot (-1))$$ $$\vec{w} = 6\vec{i} - (-3)\vec{j} + 2\vec{k}$$ $$\vec{w} = (6, 3, 2)$$ 💡 **Tip:** El vector resultante del producto vectorial es normal (perpendicular) al plano que contiene al triángulo.

Calculamos el módulo del vector resultante $\vec{w} = (6, 3, 2)$: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$$ Finalmente, aplicamos la fórmula del área: $$Área = \frac{1}{2} \cdot 7 = \frac{7}{2} = 3.5 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 3.5 \text{ unidades cuadradas}}$$