Cálculo de la matriz inversa mediante una igualdad matricial

**(a) [1’25 puntos] Comprueba que se verifica $2A - A^2 = I$.** Para verificar la igualdad, primero necesitamos calcular $A^2$, que es el producto de la matriz $A$ por sí misma: $A^2 = A \cdot A$. $$A^2 = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix}$$ Calculamos cada elemento fila por columna: - Fila 1: - $(5)(5) + (-4)(2) + (2)(-4) = 25 - 8 - 8 = 9$ - $(5)(-4) + (-4)(-1) + (2)(4) = -20 + 4 + 8 = -8$ - $(5)(2) + (-4)(1) + (2)(-1) = 10 - 4 - 2 = 4$ - Fila 2: - $(2)(5) + (-1)(2) + (1)(-4) = 10 - 2 - 4 = 4$ - $(2)(-4) + (-1)(-1) + (1)(4) = -8 + 1 + 4 = -3$ - $(2)(2) + (-1)(1) + (1)(-1) = 4 - 1 - 1 = 2$ - Fila 3: - $(-4)(5) + (4)(2) + (-1)(-4) = -20 + 8 + 4 = -8$ - $(-4)(-4) + (4)(-1) + (-1)(4) = 16 - 4 - 4 = 8$ - $(-4)(2) + (4)(1) + (-1)(-1) = -8 + 4 + 1 = -3$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, el elemento $c_{ij}$ es el producto escalar de la fila $i$ de la primera por la columna $j$ de la segunda. $$\boxed{A^2 = \begin{pmatrix} 9 & -8 & 4 \\ 4 & -3 & 2 \\ -8 & 8 & -3 \end{pmatrix}}$$

Calculamos ahora la expresión $2A - A^2$ y comprobamos si el resultado es la matriz identidad $I$ de orden 3. Calculamos $2A$: $$2A = 2 \cdot \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & -8 & 4 \\ 4 & -2 & 2 \\ -8 & 8 & -2 \end{pmatrix}$$ Realizamos la resta $2A - A^2$: $$2A - A^2 = \begin{pmatrix} 10 & -8 & 4 \\ 4 & -2 & 2 \\ -8 & 8 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 9 & -8 & 4 \\ 4 & -3 & 2 \\ -8 & 8 & -3 \end{pmatrix}$$ $$2A - A^2 = \begin{pmatrix} 10-9 & -8-(-8) & 4-4 \\ 4-4 & -2-(-3) & 2-2 \\ -8-(-8) & 8-8 & -2-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{2A - A^2 = I}$$ Queda comprobado que se verifica la igualdad solicitada.

**(b) [1’25 puntos] Calcula $A^{-1}$. (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)).** Para calcular la inversa aprovechando la igualdad $2A - A^2 = I$, vamos a sacar factor común la matriz $A$. Podemos escribir la ecuación como: $$A(2I - A) = I$$ O también: $$(2I - A)A = I$$ 💡 **Tip:** Por definición, si existe una matriz $B$ tal que $A \cdot B = I$ y $B \cdot A = I$, entonces $B$ es la matriz inversa de $A$, es decir, $B = A^{-1}$. En nuestro caso, la matriz que multiplica a $A$ para dar la identidad es $(2I - A)$. Por lo tanto: $$\boxed{A^{-1} = 2I - A}$$

Procedemos a calcular la matriz resultante de la operación $2I - A$: $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix}$$ Operamos elemento a elemento: $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 2-5 & 0-(-4) & 0-2 \\ 0-2 & 2-(-1) & 0-1 \\ 0-(-4) & 0-4 & 2-(-1) \end{pmatrix}$$ $$A^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & 4 & -2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 4 & -4 & 3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & 4 & -2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 4 & -4 & 3 \end{pmatrix}}$$