Área entre una parábola y la función valor absoluto

**(a) [1 punto] Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados.** Para representar las funciones, analizamos sus características principales: 1. **Función $f(x) = 2 - x^2$**: Es una parábola con las siguientes propiedades: * Corta al eje $Y$ en $(0, 2)$ (vértice). * Corta al eje $X$ cuando $2 - x^2 = 0 \implies x = \pm\sqrt{2} \approx \pm 1.41$. * Es cóncava hacia abajo ($a = -1 \lt 0$). 2. **Función $g(x) = |x|$**: Es la función valor absoluto, que podemos definir a trozos como: $$g(x)=\begin{cases} -x & \text{si } x \lt 0,\\ x & \text{si } x \ge 0. \end{cases}$$ Se trata de dos semirrectas que parten del origen $(0,0)$ con pendientes $-1$ y $1$ respectivamente. 💡 **Tip:** Recuerda que las funciones de la forma $y = |x - a|$ siempre tienen forma de "V" con el vértice en el punto $(a, 0)$.

A continuación se muestran ambas funciones en el mismo sistema de ejes. El área que calcularemos en el apartado (b) es la región encerrada entre la curva azul (parábola) y la gráfica roja (valor absoluto).

**(b) [1’5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de $f$ y $g$.** Para hallar los límites de integración, igualamos ambas funciones: $f(x) = g(x) \implies 2 - x^2 = |x|$. Debido a la definición del valor absoluto, resolvemos para dos casos: * **Caso $x \ge 0$**: $$2 - x^2 = x \implies x^2 + x - 2 = 0$$ Aplicamos la fórmula cuadrática: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$. Obtenemos $x = 1$ y $x = -2$. Como estamos en el caso $x \ge 0$, nos quedamos con **$x = 1$**. * **Caso $x \lt 0$**: $$2 - x^2 = -x \implies x^2 - x - 2 = 0$$ $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$. Obtenemos $x = 2$ y $x = -1$. Como estamos en el caso $x \lt 0$, nos quedamos con **$x = -1$**. Los puntos de corte son $(-1, 1)$ y $(1, 1)$. 💡 **Tip:** Observa que ambas funciones son **pares** ($f(x)=f(-x)$ y $g(x)=g(-x)$), por lo que la gráfica es simétrica respecto al eje $Y$.

Dado que el recinto es simétrico respecto al eje $Y$, el área total será el doble del área calculada desde $x=0$ hasta $x=1$. En el intervalo $[0, 1]$, la función superior es $f(x) = 2 - x^2$ y la inferior es $g(x) = x$. $$A = 2 \cdot \int_{0}^{1} (f(x) - g(x)) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{1} (2 - x^2 - x) \, dx$$ 💡 **Tip:** Usar la simetría simplifica mucho los cálculos, ya que evaluar en $0$ suele ser más sencillo que evaluar en números negativos.

Calculamos la integral definida aplicando la Regla de Barrow: $$A = 2 \left[ 2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}$$ Evaluamos en el límite superior e inferior: $$A = 2 \left( \left( 2(1) - \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} \right) - (0) \right)$$ $$A = 2 \left( 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right)$$ Buscamos el denominador común (6): $$A = 2 \left( \frac{12}{6} - \frac{2}{6} - \frac{3}{6} \right) = 2 \left( \frac{7}{6} \right) = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{7}{3} \text{ unidades}^2}$$