Optimización del volumen de un cono

Sea un triángulo rectángulo con hipotenusa $c = 90$ cm y catetos $r$ y $h$. Al girar sobre el cateto $h$, este se convierte en la altura del cono, mientras que el cateto $r$ se convierte en el radio de la base. Por el **Teorema de Pitágoras**, la relación entre los catetos y la hipotenusa es: $$r^2 + h^2 = 90^2$$ $$r^2 + h^2 = 8100$$ Despejamos $r^2$ para facilitar la sustitución en la fórmula del volumen: $$r^2 = 8100 - h^2$$ 💡 **Tip:** Es preferible despejar $r^2$ en lugar de $r$, ya que en la fórmula del volumen el radio aparece al cuadrado, evitando así trabajar con raíces cuadradas innecesarias. Como $r$ y $h$ son longitudes, deben ser positivas. Además, al ser catetos de una hipotenusa de 90 cm, el dominio físico de la variable $h$ es $0 \lt h \lt 90$.

La fórmula del volumen del cono es $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. Sustituimos la expresión de $r^2$ obtenida anteriormente para obtener una función que dependa únicamente de $h$: $$V(h) = \frac{1}{3} \pi (8100 - h^2) h$$ $$V(h) = \frac{\pi}{3} (8100h - h^3)$$ Esta es la función que queremos maximizar en el intervalo $(0, 90)$. $$\boxed{V(h) = \frac{\pi}{3} (8100h - h^3)}$$

Para hallar el máximo, derivamos la función $V(h)$ con respecto a $h$ e igualamos a cero: $$V'(h) = \frac{\pi}{3} (8100 - 3h^2)$$ $$V'(h) = \pi (2700 - h^2)$$ Igualamos la derivada a cero: $$\pi (2700 - h^2) = 0 \implies 2700 - h^2 = 0$$ $$h^2 = 2700 \implies h = \sqrt{2700}$$ Simplificamos el radical: $$h = \sqrt{900 \cdot 3} = 30\sqrt{3} \text{ cm}$$ (Descartamos la solución negativa $h = -30\sqrt{3}$ por no tener sentido físico en el contexto de medidas de un triángulo). 💡 **Tip:** Recuerda que para optimizar una función buscamos sus puntos críticos donde $f'(x) = 0$.

Comprobamos si el punto crítico $h = 30\sqrt{3}$ corresponde a un máximo estudiando el signo de la derivada $V'(h)$ en su dominio: $$\begin{array}{c|ccc} h & (0, 30\sqrt{3}) & 30\sqrt{3} & (30\sqrt{3}, 90)\\ \hline V'(h) = \pi(2700-h^2) & + & 0 & - \end{array}$$ - Para $h \in (0, 30\sqrt{3})$, $V'(h) \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. - Para $h \in (30\sqrt{3}, 90)$, $V'(h) \lt 0$, por lo que la función es **decreciente**. Al pasar de crecer a decrecer, en $h = 30\sqrt{3}$ existe un **máximo relativo** (que además es absoluto en el dominio considerado). También podríamos usar el criterio de la segunda derivada: $$V''(h) = \pi (-2h) = -2\pi h$$ $$V''(30\sqrt{3}) = -2\pi (30\sqrt{3}) \lt 0 \implies \text{Máximo}$$ $$\boxed{h = 30\sqrt{3} \approx 51.96 \text{ cm}}$$

Calculamos ahora el valor del otro cateto $r$ utilizando la relación $r^2 = 8100 - h^2$: $$r^2 = 8100 - (30\sqrt{3})^2$$ $$r^2 = 8100 - 2700 = 5400$$ $$r = \sqrt{5400} = \sqrt{900 \cdot 6} = 30\sqrt{6} \text{ cm}$$ **Conclusión:** Las medidas de los catetos del triángulo deben ser: - Altura (cateto sobre el que gira): $h = 30\sqrt{3} \text{ cm} \approx 51.96 \text{ cm}$. - Radio de la base (otro cateto): $r = 30\sqrt{6} \text{ cm} \approx 73.48 \text{ cm}$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{r = 30\sqrt{6} \text{ cm}, \quad h = 30\sqrt{3} \text{ cm}}$$