Posiciones relativas de recta y plano con parámetros

Para resolver ambos apartados, primero debemos extraer los vectores directores y puntos de referencia de la recta y el plano. Del plano $\pi: 2x - y + nz = 0$, obtenemos su vector normal: $$\vec{n_{\pi}} = (2, -1, n)$$ De la recta $r: \frac{x - 1}{m} = \frac{y}{4} = \frac{z - 1}{2}$, obtenemos su vector director y un punto por el que pasa: $$\vec{v_r} = (m, 4, 2)$$ $$P_r = (1, 0, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación continua de la recta $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, los denominadores son las componentes del vector director y $(x_0, y_0, z_0)$ es un punto de la recta.

**(a) [1’25 puntos] Calcula $m$ y $n$ para que la recta $r$ sea perpendicular al plano $\pi$.** Para que una recta $r$ sea perpendicular a un plano $\pi$, su vector director $\vec{v_r}$ debe ser paralelo al vector normal del plano $\vec{n_{\pi}}$. Esto ocurre si sus coordenadas son proporcionales: $$\vec{v_r} \parallel \vec{n_{\pi}} \iff \frac{m}{2} = \frac{4}{-1} = \frac{2}{n}$$ Resolvemos las igualdades por separado: 1. De $\frac{m}{2} = \frac{4}{-1}$: $$m = 2 \cdot (-4) = -8$$ 2. De $\frac{4}{-1} = \frac{2}{n}$: $$-4 = \frac{2}{n} \implies n = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{m = -8, \quad n = -\frac{1}{2}}$$

**(b) [1’25 puntos] Calcula $m$ y $n$ para que la recta $r$ esté contenida en el plano $\pi$.** Para que la recta $r$ esté contenida en el plano $\pi$, deben cumplirse dos condiciones: 1. Cualquier punto de la recta debe pertenecer al plano. 2. El vector director de la recta debe ser perpendicular al vector normal del plano. Empezamos imponiendo que el punto $P_r(1, 0, 1)$ esté en el plano $\pi$: $$2(1) - (0) + n(1) = 0$$ $$2 + n = 0 \implies n = -2$$ 💡 **Tip:** Si una recta está en un plano, todos sus puntos satisfacen la ecuación del plano. Basta con comprobar uno solo si además garantizamos que la recta es paralela al plano.

Ahora imponemos la segunda condición: el vector director $\vec{v_r}$ debe ser perpendicular al vector normal $\vec{n_{\pi}}$. Esto implica que su producto escalar debe ser cero: $$\vec{v_r} \cdot \vec{n_{\pi}} = 0$$ $$(m, 4, 2) \cdot (2, -1, n) = 0$$ $$2m - 4 + 2n = 0$$ Sustituimos el valor de $n = -2$ obtenido en el paso anterior: $$2m - 4 + 2(-2) = 0$$ $$2m - 4 - 4 = 0$$ $$2m = 8 \implies m = 4$$ Como el enunciado indica que $m \neq 0$, la solución $m=4$ es válida. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{m = 4, \quad n = -2}$$