Rango de matrices con parámetros

Para que la matriz $A$ de orden $3 \times 3$ tenga rango 2, su determinante debe ser igual a cero ($|A| = 0$) y, simultáneamente, debe existir al menos un menor de orden 2 no nulo. Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & 0 & b \\ 1 & 1 & c \end{vmatrix} = (1 \cdot 0 \cdot c) + (1 \cdot 1 \cdot a) + (1 \cdot 1 \cdot b) - (a \cdot 0 \cdot 1) - (b \cdot 1 \cdot 1) - (c \cdot 1 \cdot 1)$$ $$|A| = 0 + a + b - 0 - b - c = a - c$$ Para que el rango sea menor que 3, imponemos $|A| = 0$: $$a - c = 0 \implies a = c$$ Comprobamos que el rango es exactamente 2 buscando un menor de orden 2 distinto de cero. Por ejemplo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (1 \cdot 0) - (1 \cdot 1) = -1 \neq 0$$ Como este menor no depende de los parámetros, el rango de $A$ será **exactamente 2** siempre que **$a = c$**. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es 0, el rango es como máximo 2.

De igual forma, para que la matriz $B$ tenga rango 2, su determinante debe ser cero y debe existir un menor de orden 2 no nulo. Calculamos el determinante de $B$: $$|B| = \begin{vmatrix} 2 & 0 & a \\ 0 & -1 & b \\ 3 & 1 & c \end{vmatrix} = (2 \cdot (-1) \cdot c) + (0 \cdot 1 \cdot a) + (3 \cdot 0 \cdot b) - (a \cdot (-1) \cdot 3) - (b \cdot 1 \cdot 2) - (c \cdot 0 \cdot 0)$$ $$|B| = -2c + 0 + 0 - (-3a) - 2b - 0 = 3a - 2b - 2c$$ Imponemos $|B| = 0$: $$3a - 2b - 2c = 0$$ Comprobamos si existe un menor de orden 2 no nulo en $B$. Tomamos el menor formado por las dos primeras filas y columnas: $$\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$$ Por tanto, el rango de $B$ será **exactamente 2** siempre que **$3a - 2b - 2c = 0$**.

Para que ambas matrices tengan rango 2 simultáneamente, se deben cumplir las dos condiciones obtenidas: $$\begin{cases} a - c = 0 \\ 3a - 2b - 2c = 0 \end{cases}$$ De la primera ecuación despejamos $c$: $$c = a$$ Sustituimos en la segunda ecuación: $$3a - 2b - 2a = 0 \implies a - 2b = 0 \implies a = 2b$$ Expresamos el vector $v = (a, b, c)$ en función de un solo parámetro (por ejemplo, $b$): $$v = (2b, b, 2b)$$ Como el enunciado pide un **vector no nulo**, debemos elegir un valor de $b$ tal que $b \neq 0$.

Damos un valor arbitrario a $b$, por ejemplo $b = 1$: $$a = 2(1) = 2$$ $$c = 2$$ El vector resultante es $v = (2, 1, 2)$. Podemos verificar que para este vector: - En $A$: $a-c = 2-2=0$ (Rango 2). - En $B$: $3(2)-2(1)-2(2) = 6-2-4=0$ (Rango 2). Cualquier múltiplo de este vector (excepto el vector nulo) también sería una solución válida, por ejemplo $v = (2, 1, 2)$ o $v = (4, 2, 4)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{v = (2, 1, 2)}$$