Estudio y área de una función con valor absoluto

**(a) [1 punto] Esboza su gráfica.** Para poder representar la función $f(x) = x|2 - x|$, primero debemos eliminar el valor absoluto. Para ello, estudiamos el signo de la expresión interior, $2-x$: - Si $2 - x \ge 0 \implies x \le 2$, entonces $|2 - x| = 2 - x$. - Si $2 - x \lt 0 \implies x \gt 2$, entonces $|2 - x| = -(2 - x) = x - 2$. Multiplicando por la $x$ exterior, la función queda definida a trozos como: $$f(x)=\begin{cases} x(2 - x) = 2x - x^2 & \text{si } x \le 2, \\ x(x - 2) = x^2 - 2x & \text{si } x > 2. \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $|A| = A$ si $A \ge 0$ y $|A| = -A$ si $A < 0$. Es fundamental separar los intervalos correctamente antes de operar.

Analizamos cada rama, que en ambos casos son parábolas: 1. **Rama 1 ($x \le 2$): $y = -x^2 + 2x$** - Es una parábola cóncava hacia abajo ($a = -1$). - Puntos de corte con el eje $X$: $-x^2 + 2x = 0 \implies x(2 - x) = 0 \implies x = 0$ y $x = 2$. - Vértice: $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{-2} = 1$. La ordenada es $f(1) = 2(1) - 1^2 = 1$. El vértice está en **$(1, 1)$**. 2. **Rama 2 ($x > 2$): $y = x^2 - 2x$** - Es una parábola cóncava hacia arriba ($a = 1$). - Puntos de corte: $x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0 \implies x = 0$ (fuera de dominio) y $x = 2$. - Comportamiento: Para $x = 3$, $f(3) = 3^2 - 2(3) = 3$. La función es continua en $x=2$ ya que $f(2)=0$ en ambas expresiones. $$\boxed{\text{Puntos clave: } (0,0), (1,1), (2,0), (3,3)}$$

**(b) [1’5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $f$, el eje de abscisas y la recta de ecuación $x = 3$.** El recinto está limitado por la función, el eje $X$ ($y=0$) y la recta vertical $x=3$. Observando la gráfica, el recinto comienza en el primer punto de corte con el eje $X$ a la derecha o en el origen, que es $x=0$, y termina en $x=3$. Debemos dividir la integral en dos partes debido al cambio de definición de la función en $x=2$: 1. De $x=0$ a $x=2$ usando la primera rama. 2. De $x=2$ a $x=3$ usando la segunda rama. $$A = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx + \int_{2}^{3} (x^2 - 2x) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área siempre es positiva. Si la función estuviera por debajo del eje $X$, usaríamos el valor absoluto de la integral o cambiaríamos el signo de la función.

Calculamos la primera integral: $$I_1 = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$$ $$I_1 = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - (0) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3} \text{ u}^2$$ Calculamos la segunda integral: $$I_2 = \int_{2}^{3} (x^2 - 2x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{2}^{3}$$ $$I_2 = \left( \frac{3^3}{3} - 3^2 \right) - \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 \right) = (9 - 9) - \left( \frac{8}{3} - 4 \right) = 0 - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Aplica la Regla de Barrow con cuidado: $F(b) - F(a)$. Los paréntesis son vitales para no cometer errores con los signos negativos.

Sumamos ambas áreas parciales para obtener el área total del recinto: $$A = I_1 + I_2 = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \text{ u}^2$$ El área total es aproximadamente $2,67$ unidades cuadradas. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{8}{3} \text{ u}^2}$$