Rectas tangente y normal

**Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = -5$ y en el punto de abscisa $x = 2$.** Primero, calculamos las ordenadas de los puntos de la gráfica evaluando la función $f(x) = (x + 1) \sqrt[3]{3 - x}$ en $x = -5$ y $x = 2$: - Para $x = -5$: $$f(-5) = (-5 + 1) \sqrt[3]{3 - (-5)} = (-4) \sqrt[3]{8} = -4 \cdot 2 = -8$$ El primer punto de tangencia es $P_1(-5, -8)$. - Para $x = 2$: $$f(2) = (2 + 1) \sqrt[3]{3 - 2} = (3) \sqrt[3]{1} = 3 \cdot 1 = 3$$ El segundo punto de tangencia es $P_2(2, 3)$. 💡 **Tip:** Las coordenadas de un punto en la gráfica siempre se obtienen calculando $f(a)$ para la abscisa $x=a$ dada.

Para hallar las pendientes de las rectas tangentes, necesitamos la derivada $f'(x)$. Expresamos la raíz como potencia para derivar más fácilmente: $$f(x) = (x + 1)(3 - x)^{1/3}$$ Aplicamos la regla del producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ y la regla de la cadena: $$f'(x) = 1 \cdot (3 - x)^{1/3} + (x + 1) \cdot \frac{1}{3}(3 - x)^{-2/3} \cdot (-1)$$ $$f'(x) = \sqrt[3]{3 - x} - \frac{x + 1}{3 \sqrt[3]{(3 - x)^2}}$$ Simplificamos la expresión operando con el común denominador: $$f'(x) = \frac{3(3 - x) - (x + 1)}{3 \sqrt[3]{(3 - x)^2}} = \frac{9 - 3x - x - 1}{3 \sqrt[3]{(3 - x)^2}} = \frac{8 - 4x}{3 \sqrt[3]{(3 - x)^2}}$$ $$\boxed{f'(x) = \frac{8 - 4x}{3 \sqrt[3]{(3 - x)^2}}}$$

Calculamos la pendiente de la tangente en $x = -5$: $$m_t = f'(-5) = \frac{8 - 4(-5)}{3 \sqrt[3]{(3 - (-5))^2}} = \frac{8 + 20}{3 \sqrt[3]{8^2}} = \frac{28}{3 \cdot 4} = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$$ **Recta Tangente:** Usamos la fórmula $y - f(a) = f'(a)(x - a)$: $$y - (-8) = \frac{7}{3}(x - (-5)) \Rightarrow y + 8 = \frac{7}{3}(x + 5)$$ $$\boxed{y = \frac{7}{3}x + \frac{11}{3}}$$ **Recta Normal:** La pendiente de la normal es $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{3}{7}$: $$y - (-8) = -\frac{3}{7}(x - (-5)) \Rightarrow y + 8 = -\frac{3}{7}(x + 5)$$ $$\boxed{y = -\frac{3}{7}x - \frac{71}{7}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la recta normal es perpendicular a la tangente, por lo que su pendiente cumple $m_n \cdot m_t = -1$.

Calculamos la pendiente de la tangente en $x = 2$: $$m_t = f'(2) = \frac{8 - 4(2)}{3 \sqrt[3]{(3 - 2)^2}} = \frac{8 - 8}{3 \sqrt[3]{1}} = \frac{0}{3} = 0$$ **Recta Tangente:** Como la pendiente es $0$, la recta es horizontal: $$y - 3 = 0(x - 2) \Rightarrow \boxed{y = 3}$$ **Recta Normal:** Al ser la tangente horizontal ($m_t = 0$), la normal es una recta vertical que pasa por $x = 2$: $$\boxed{x = 2}$$ 💡 **Tip:** Si la pendiente de la tangente es cero, la recta normal no se puede calcular con la fórmula estándar de la pendiente (sería división por cero), por definición es la recta vertical $x=a$.