División de un segmento y plano perpendicular

**(a) [1’25 puntos] Calcula las coordenadas de los puntos que dividen el segmento $AB$ en tres partes iguales.** Para dividir el segmento $AB$ en tres partes iguales, necesitamos encontrar dos puntos, llamémoslos $P$ y $Q$, que se encuentren situados sobre el segmento de forma que se cumpla: $$\vec{AP} = \frac{1}{3}\vec{AB} \quad \text{y} \quad \vec{AQ} = \frac{2}{3}\vec{AB}$$ Primero, calculamos las componentes del vector $\vec{AB}$ restando las coordenadas de $A(1, 2, 1)$ a las de $B(-1, 0, 3)$: $$\vec{AB} = B - A = (-1 - 1, 0 - 2, 3 - 1) = (-2, -2, 2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el vector que une dos puntos $P_1$ y $P_2$ se calcula siempre como "Extremo menos Origen": $\vec{P_1P_2} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$.

El primer punto $P$ se obtiene sumando al punto $A$ la tercera parte del vector $\vec{AB}$: $$P = A + \frac{1}{3}\vec{AB} = (1, 2, 1) + \frac{1}{3}(-2, -2, 2)$$ $$P = (1, 2, 1) + \left(-\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$$ $$P = \left(1 - \frac{2}{3}, 2 - \frac{2}{3}, 1 + \frac{2}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, \frac{5}{3}\right)$$ 💡 **Tip:** Operar con fracciones requiere cuidado. Recuerda que $1 - \frac{2}{3} = \frac{3-2}{3} = \frac{1}{3}$ y $2 - \frac{2}{3} = \frac{6-2}{3} = \frac{4}{3}$.

El segundo punto $Q$ se puede obtener sumando al punto $A$ las dos terceras partes del vector $\vec{AB}$, o bien sumando un tercio del vector al punto $P$ hallado anteriormente: $$Q = A + \frac{2}{3}\vec{AB} = (1, 2, 1) + \frac{2}{3}(-2, -2, 2)$$ $$Q = (1, 2, 1) + \left(-\frac{4}{3}, -\frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right)$$ $$Q = \left(1 - \frac{4}{3}, 2 - \frac{4}{3}, 1 + \frac{4}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{7}{3}\right)$$ ✅ **Resultado (puntos de división):** $$\boxed{P\left(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, \frac{5}{3}\right) \text{ y } Q\left(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{7}{3}\right)}$$

**(b) [1’25 puntos] Halla la ecuación del plano perpendicular al segmento $AB$ y que pasa por $A$.** Si el plano $\pi$ es perpendicular al segmento $AB$, el vector $\vec{AB}$ (o cualquier vector proporcional a él) es un vector normal al plano, $\vec{n_\pi}$. Usamos el vector hallado en el apartado anterior: $$\vec{n_\pi} = \vec{AB} = (-2, -2, 2)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional más sencillo dividiendo por $-2$: $$\vec{v} = (1, 1, -1)$$ La ecuación general de un plano con vector normal $(A, B, C)$ es: $$Ax + By + Cz + D = 0$$ Sustituyendo nuestro vector normal: $$x + y - z + D = 0$$ 💡 **Tip:** El vector normal a un plano $\pi \equiv Ax+By+Cz+D=0$ siempre viene dado por sus coeficientes $(A, B, C)$.

Para hallar el valor de $D$, imponemos que el plano pase por el punto $A(1, 2, 1)$: $$1 \cdot (1) + 1 \cdot (2) - 1 \cdot (1) + D = 0$$ $$1 + 2 - 1 + D = 0$$ $$2 + D = 0 \implies D = -2$$ Sustituyendo el valor de $D$ en la ecuación, obtenemos el plano: $$\pi \equiv x + y - z - 2 = 0$$ Nota: Si hubiéramos usado el vector normal $(-2, -2, 2)$ directamente, habríamos obtenido $-2x - 2y + 2z + 4 = 0$, que es la misma ecuación multiplicada por $-2$. ✅ **Resultado (ecuación del plano):** $$\boxed{x + y - z - 2 = 0}$$