Inversa de una matriz y ecuación matricial

**(a) [0’75 puntos] Calcula $A^{-1}$.** Para que una matriz tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (-1 \cdot 1) - (2 \cdot 0) = -1$$ Como $|A| = -1 \neq 0$, la matriz $A$ es invertible. Ahora calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: - $A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot 1 = 1$ - $A_{12} = (-1)^{1+2} \cdot 0 = 0$ - $A_{21} = (-1)^{2+1} \cdot 2 = -2$ - $A_{22} = (-1)^{2+2} \cdot (-1) = -1$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El elemento adjunto $A_{ij}$ se obtiene eliminando la fila $i$ y la columna $j$ y aplicando el signo $(-1)^{i+j}$.

La fórmula de la matriz inversa es $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} \cdot (\text{Adj}(A))^t$. Primero, trasponemos la matriz de adjuntos: $$(\text{Adj}(A))^t = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Finalmente, multiplicamos por $\frac{1}{|A|} = \frac{1}{-1} = -1$: $$A^{-1} = -1 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ En este caso particular, observamos que **$A^{-1} = A$**. ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

**(b) [1’75 puntos] Resuelve la ecuación matricial $AX A^t - B = 2I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2 y $A^t$ es la matriz traspuesta de $A$.** Primero aislamos el término que contiene a $X$ sumando $B$ en ambos miembros: $$AX A^t = 2I + B$$ Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$ y por la derecha por $(A^t)^{-1}$: $$A^{-1} (AX A^t) (A^t)^{-1} = A^{-1} (2I + B) (A^t)^{-1}$$ $$(A^{-1} A) X (A^t (A^t)^{-1}) = A^{-1} (2I + B) (A^t)^{-1}$$ $$I \cdot X \cdot I = A^{-1} (2I + B) (A^t)^{-1}$$ $$X = A^{-1} (2I + B) (A^t)^{-1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el orden de la multiplicación importa en matrices. Para eliminar una matriz por la izquierda, multiplicamos por su inversa por la izquierda.

Necesitamos calcular $(2I + B)$ y $(A^t)^{-1}$. Calculamos $2I + B$: $$2I + B = 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos $(A^t)^{-1}$. Usando la propiedad $(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t$ y el resultado del apartado (a): $$(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^t = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que curiosamente **$2I + B = A^t$**, lo que simplificará el cálculo final.

Sustituimos los valores obtenidos en la expresión de $X$: $$X = A^{-1} \cdot (2I + B) \cdot (A^t)^{-1}$$ Sustituimos las matrices: $$X = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos las dos primeras matrices: $$M = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(-1)+2(2) & (-1)(0)+2(1) \\ 0(-1)+1(2) & 0(0)+1(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora multiplicamos el resultado por la tercera matriz: $$X = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5(-1)+2(2) & 5(0)+2(1) \\ 2(-1)+1(2) & 2(0)+1(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$$