Cálculo del área de un recinto limitado por una función racional

Para calcular el área del recinto limitado por la gráfica de $f(x)$, el eje $OX$ ($y=0$) y las rectas verticales $x=2$ y $x=3$, primero debemos comprobar si la función es continua en el intervalo $[2, 3]$ y si corta al eje de abscisas en dicho intervalo. La función es $f(x) = \frac{3}{x^2 - 5x + 4}$. Sus puntos de discontinuidad son las raíces del denominador: $$x^2 - 5x + 4 = 0 \implies x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \implies x_1 = 1, x_2 = 4.$$ Como los puntos de discontinuidad ($x=1$ y $x=4$) están fuera del intervalo $[2, 3]$, la función es continua en el intervalo de integración. Además, $f(x)$ no tiene raíces (el numerador es una constante $3 \neq 0$), por lo que no corta al eje $OX$. Evaluamos el signo de la función en un punto del intervalo, por ejemplo $x=2.5$: $$f(2.5) = \frac{3}{(2.5)^2 - 5(2.5) + 4} = \frac{3}{6.25 - 12.5 + 4} = \frac{3}{-2.25} < 0.$$ Al ser la función negativa en todo el intervalo, el área se calculará como: $$A = \int_{2}^{3} |f(x)| \, dx = \int_{2}^{3} -f(x) \, dx = \int_{2}^{3} \frac{-3}{x^2 - 5x + 4} \, dx.$$ 💡 **Tip:** Siempre verifica si la función cambia de signo en el intervalo de integración. Si lo hiciera, deberías dividir la integral en varios recintos.

Para resolver la integral $\int \frac{3}{x^2 - 5x + 4} \, dx$, descomponemos la función racional en fracciones simples, ya que el denominador tiene raíces reales distintas $x=1$ y $x=4$: $$\frac{3}{(x-1)(x-4)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-4}$$ Multiplicando por el denominador común: $$3 = A(x-4) + B(x-1)$$ Calculamos los coeficientes: - Si $x=1$: $3 = A(1-4) \implies 3 = -3A \implies **A = -1**$ - Si $x=4$: $3 = B(4-1) \implies 3 = 3B \implies **B = 1**$ Por tanto, la integral indefinida es: $$\int f(x) \, dx = \int \left( \frac{-1}{x-1} + \frac{1}{x-4} \right) \, dx = -\ln|x-1| + \ln|x-4| + C$$ Utilizando las propiedades de los logaritmos: $$F(x) = \ln\left| \frac{x-4}{x-1} \right| + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln a - \ln b = \ln(a/b)$. Esto facilita mucho la aplicación posterior de la regla de Barrow.

Calculamos el área usando la integral definida del valor absoluto de la función. Como vimos que $f(x) < 0$ en $[2, 3]$, calculamos: $$A = \int_{2}^{3} -f(x) \, dx = - \left[ \ln\left| \frac{x-4}{x-1} \right| \right]_{2}^{3}$$ Sustituimos los límites de integración (Regla de Barrow): $$A = - \left( \ln\left| \frac{3-4}{3-1} \right| - \ln\left| \frac{2-4}{2-1} \right| \right)$$ $$A = - \left( \ln\left| \frac{-1}{2} \right| - \ln\left| \frac{-2}{1} \right| \right)$$ $$A = - (\ln(1/2) - \ln 2)$$ Utilizando que $\ln(1/2) = -\ln 2$: $$A = - (-\ln 2 - \ln 2) = - (-2\ln 2) = 2\ln 2$$ También se puede expresar como $\ln(2^2) = \ln 4$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{Area = 2\ln 2 \approx 1.386 \text{ unidades}^2}$$ 💡 **Tip:** El área siempre debe ser un valor positivo. Si obtienes un resultado negativo, revisa si la función estaba por debajo del eje y olvidaste cambiar el signo o aplicar el valor absoluto.