Cálculo de parámetros para la derivabilidad y recta tangente

Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en dicho punto. Analizamos la continuidad en el punto de salto entre ramas, $x = 0$. Calculamos los límites laterales y el valor de la función: 1. **Valor de la función:** $f(0) = e^0(0^2 + a \cdot 0) = 1 \cdot 0 = 0$. 2. **Límite por la izquierda ($x \to 0^-$):** $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} e^x(x^2 + ax) = 0.$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 0^+$):** $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{bx^2 + c}{x + 1} = \frac{b(0)^2 + c}{0 + 1} = c.$$ Para que sea continua en $x = 0$, los límites laterales deben ser iguales al valor de la función: $$0 = c \implies \boxed{c = 0}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad, pero la continuidad no siempre implica derivabilidad.

Calculamos la derivada de cada rama para estudiar la derivabilidad en $x=0$ y la condición en $x=1$. Para la primera rama ($x < 0$), usamos la regla del producto: $$f'(x) = e^x(x^2 + ax) + e^x(2x + a) = e^x(x^2 + (a+2)x + a).$$ Para la segunda rama ($x > 0$), usamos la regla del cociente (sabiendo ya que $c=0$): $$f'(x) = \frac{2bx(x+1) - (bx^2)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2bx^2 + 2bx - bx^2}{(x+1)^2} = \frac{bx^2 + 2bx}{(x+1)^2}.$$ La función derivada (salvo posiblemente en $x=0$) es: $$f'(x) = \begin{cases} e^x(x^2 + (a+2)x + a) & \text{si } x < 0 \\ \frac{bx^2 + 2bx}{(x+1)^2} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para derivar $\frac{u}{v}$ usamos $\frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Para que $f$ sea derivable en $x = 0$, las derivadas laterales deben coincidir: 1. **Derivada lateral izquierda ($f'(0^-)$):** $$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} e^x(x^2 + (a+2)x + a) = e^0(0 + 0 + a) = a.$$ 2. **Derivada lateral derecha ($f'(0^+)$):** $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{bx^2 + 2bx}{(x+1)^2} = \frac{0 + 0}{(0+1)^2} = 0.$$ Igualando ambas: $$\boxed{a = 0}$$ 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es derivable en el punto de cambio si es continua y sus derivadas por la izquierda y la derecha son finitas e iguales.

El enunciado indica que la pendiente de la recta tangente en $x = 1$ es $3$. Esto se traduce matemáticamente como $f'(1) = 3$. Como $x = 1 > 0$, utilizamos la expresión de la derivada de la segunda rama: $$f'(1) = \frac{b(1)^2 + 2b(1)}{(1+1)^2} = \frac{b + 2b}{2^2} = \frac{3b}{4}.$$ Igualamos al valor dado por el problema: $$\frac{3b}{4} = 3 \implies 3b = 12 \implies \boxed{b = 4}$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto $x_0$ coincide siempre con el valor de la derivada $f'(x_0)$.

Reuniendo los valores obtenidos en los pasos anteriores: - De la continuidad en $x=0$: **$c = 0$**. - De la derivabilidad en $x=0$: **$a = 0$**. - De la pendiente en $x=1$: **$b = 4$**. La función resultante es: $$f(x) = \begin{cases} x^2 e^x & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{4x^2}{x + 1} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 0, \quad b = 4, \quad c = 0}$$