Vértices de un triángulo y perpendicularidad en el espacio

**(a) [1’5 puntos] Calcula las coordenadas del punto $S$ sabiendo que $r$ es perpendicular a la recta que pasa por $P$ y $S$.** El punto $S$ pertenece a la recta $r$. Para trabajar con mayor comodidad, expresamos la recta $r$ en forma paramétrica. La recta viene dada por el sistema: $$ \begin{cases} 4x + 3z = 33 \\ y = 0 \end{cases} $$ Despejamos una variable en función de otra en la primera ecuación. Si hacemos $x = 3\lambda$ (para evitar fracciones al dividir por 3 más adelante): $$ 4(3\lambda) + 3z = 33 \implies 12\lambda + 3z = 33 \implies 4\lambda + z = 11 \implies z = 11 - 4\lambda $$ Como $y=0$ siempre, las ecuaciones paramétricas de $r$ son: $$ r \equiv \begin{cases} x = 3\lambda \\ y = 0 \\ z = 11 - 4\lambda \end{cases} $$ De aquí obtenemos el vector director de la recta $\vec{v_r} = (3, 0, -4)$ y un punto genérico de la misma, que será nuestro punto **$S(3\lambda, 0, 11-4\lambda)$**. 💡 **Tip:** Elegir múltiplos del coeficiente (como usar $3\lambda$) ayuda a que las coordenadas resultantes sean más sencillas de manejar.

Sabemos que la recta $r$ es perpendicular a la recta que une $P(2, 0, 0)$ y $S$. Esto significa que el vector director de $r$, $\vec{v_r}$, debe ser perpendicular al vector $\vec{PS}$. Calculamos el vector $\vec{PS}$: $$ \vec{PS} = S - P = (3\lambda - 2, 0 - 0, 11 - 4\lambda - 0) = (3\lambda - 2, 0, 11 - 4\lambda) $$ La condición de perpendicularidad implica que su producto escalar es cero: $$ \vec{v_r} \cdot \vec{PS} = 0 $$ $$ (3, 0, -4) \cdot (3\lambda - 2, 0, 11 - 4\lambda) = 0 $$ Desarrollamos la operación: $$ 3(3\lambda - 2) + 0(0) + (-4)(11 - 4\lambda) = 0 $$ $$ 9\lambda - 6 - 44 + 16\lambda = 0 $$ $$ 25\lambda - 50 = 0 \implies 25\lambda = 50 \implies \lambda = 2 $$ 💡 **Tip:** Recuerda que dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto escalar es nulo: $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 = 0$.

Sustituimos el valor hallado $\lambda = 2$ en las coordenadas genéricas del punto $S$: $$ x = 3(2) = 6 $$ $$ y = 0 $$ $$ z = 11 - 4(2) = 11 - 8 = 3 $$ Por tanto, el punto buscado es: ✅ **Resultado (Coordenadas de S):** $$\boxed{S(6, 0, 3)}$$

**(b) [1 punto] Comprueba si el triángulo es rectángulo.** Un triángulo es rectángulo si el producto escalar de dos de los vectores que forman sus lados es cero. Disponemos de los vértices: $P(2, 0, 0)$, $Q(-1, 12, 4)$ y $S(6, 0, 3)$. Calculamos los vectores de los lados: - $\vec{PS} = (6-2, 0-0, 3-0) = (4, 0, 3)$ - $\vec{PQ} = (-1-2, 12-0, 4-0) = (-3, 12, 4)$ - $\vec{QS} = (6-(-1), 0-12, 3-4) = (7, -12, -1)$ Probamos el producto escalar entre $\vec{PS}$ y $\vec{PQ}$: $$ \vec{PS} \cdot \vec{PQ} = (4)(-3) + (0)(12) + (3)(4) = -12 + 0 + 12 = 0 $$ Al ser el producto escalar igual a cero, los vectores $\vec{PS}$ y $\vec{PQ}$ son perpendiculares, lo que significa que existe un ángulo de $90^\circ$ en el vértice $P$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El triángulo es rectángulo en el vértice } P}$$