Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**(a) [1’75 puntos] Discútelo según los valores de $\lambda$. ¿Tiene siempre solución?** Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 2 & -\lambda & 1 \\ 1 & -1 & \lambda \end{pmatrix}; \quad A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} \lambda & 1 & 1 & \lambda + 2 \\ 2 & -\lambda & 1 & 2 \\ 1 & -1 & \lambda & \lambda \end{array} \right)$$ Para discutir el sistema, calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 2 & -\lambda & 1 \\ 1 & -1 & \lambda \end{vmatrix} = (-\lambda^3 + 1 - 2) - (-\lambda - \lambda + 2\lambda)$$ $$|A| = -\lambda^3 - 1 - 0 = -\lambda^3 - 1$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-\lambda^3 - 1 = 0 \implies \lambda^3 = -1 \implies \lambda = \sqrt[3]{-1} = -1$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $3 \times 3$ nos indica para qué valores del parámetro el rango de la matriz es máximo (3 en este caso).

Si $\lambda \neq -1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz $A$ es $3$. Como la matriz ampliada $A^*$ es una matriz de $3 \times 4$, su rango máximo también es $3$. Por tanto: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una **solución única**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda \neq -1: \text{ Sistema Compatible Determinado}}$$

Si $\lambda = -1$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Analizamos la matriz ampliada: $$A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -1 & -1 \end{array} \right)$$ Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1 - 2 = -3 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$. Observamos que la fila 3 ($R_3$) es exactamente la opuesta de la fila 1 ($R_1$): $$R_3 = -R_1 \implies (1, -1, -1, -1) = -(-1, 1, 1, 1)$$ Como una fila es combinación lineal de otra, el rango de la matriz ampliada también es $2$: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < \text{nº de incógnitas}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, es decir, tiene **infinitas soluciones**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda = -1: \text{ Sistema Compatible Indeterminado}}$$

A la vista de los dos casos analizados: - Si $\lambda \neq -1$, hay solución única. - Si $\lambda = -1$, hay infinitas soluciones. Por tanto, el sistema **siempre tiene solución** para cualquier valor de $\lambda$. 💡 **Tip:** Un sistema es incompatible (sin solución) solo si el rango de la matriz de coeficientes es menor que el rango de la matriz ampliada.

**(b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema para $\lambda = -1$.** Como hemos visto en el apartado anterior, si $\lambda = -1$ el sistema es Compatible Indeterminado. La tercera ecuación es redundante (es la primera multiplicada por $-1$), por lo que trabajamos con las dos primeras: $$ \left. \begin{array}{rcl} -x + y + z & = & 1 \\ 2x + y + z & = & 2 \end{array} \right\} $$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar $y$ y $z$: $$(2x + y + z) - (-x + y + z) = 2 - 1$$ $$3x = 1 \implies x = \frac{1}{3}$$ Ahora sustituimos $x = 1/3$ en la primera ecuación: $$-\frac{1}{3} + y + z = 1 \implies y + z = 1 + \frac{1}{3} \implies y = \frac{4}{3} - z$$ Tomamos $z$ como parámetro libre ($z = \alpha$): $$x = \frac{1}{3}, \quad y = \frac{4}{3} - \alpha, \quad z = \alpha \quad \text{con } \alpha \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(x, y, z) = \left( \frac{1}{3}, \frac{4}{3} - \alpha, \alpha \right) \text{ para } \alpha \in \mathbb{R}}$$