Área entre una recta y una hipérbola

**(a) [1 punto] Esboza el recinto limitado por las gráficas de $f$ y $g$ indicando sus puntos de corte.** Para hallar los puntos de corte entre $f(x) = 5 - x$ y $g(x) = \frac{4}{x}$, igualamos ambas expresiones: $$5 - x = \frac{4}{x}$$ Multiplicamos toda la ecuación por $x$ (sabiendo que $x \neq 0$): $$5x - x^2 = 4 \implies x^2 - 5x + 4 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}$$ Esto nos da dos soluciones para la abscisa: - $x_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4$ - $x_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1$ Calculamos las ordenadas correspondientes sustituyendo en $f(x)$: - Si $x = 1 \implies f(1) = 5 - 1 = 4$ - Si $x = 4 \implies f(4) = 5 - 4 = 1$ Los puntos de corte son **$(1, 4)$ y $(4, 1)$**. 💡 **Tip:** Los puntos de corte definen los límites de integración para el cálculo del área en el siguiente apartado.

**(b) [1’5 puntos] Calcula el área de dicho recinto.** El área del recinto limitado por dos funciones se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones (la superior menos la inferior) entre los puntos de corte. En el intervalo $(1, 4)$, comprobamos cuál es la función superior tomando un valor intermedio, por ejemplo $x = 2$: - $f(2) = 5 - 2 = 3$ - $g(2) = 4/2 = 2$ Como $f(2) \gt g(2)$, la función superior es $f(x)$. El planteamiento del área $A$ es: $$A = \int_{1}^{4} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{1}^{4} \left( 5 - x - \frac{4}{x} \right) \, dx$$ 💡 **Tip:** Siempre resta la función "techo" menos la función "suelo" para que el resultado del área sea positivo.

Calculamos la integral indefinida (primitiva) término a término: $$\int \left( 5 - x - \frac{4}{x} \right) \, dx = 5x - \frac{x^2}{2} - 4\ln|x| + C$$ Por tanto, nuestra función primitiva es: $$F(x) = 5x - \frac{x^2}{2} - 4\ln|x|$$

Aplicamos la Regla de Barrow evaluando en los límites $x=4$ y $x=1$: $$A = [F(x)]_1^4 = F(4) - F(1)$$ Calculamos $F(4)$: $$F(4) = 5(4) - \frac{4^2}{2} - 4\ln(4) = 20 - 8 - 4\ln(4) = 12 - 4\ln(4)$$ Calculamos $F(1)$: $$F(1) = 5(1) - \frac{1^2}{2} - 4\ln(1) = 5 - 0.5 - 0 = 4.5 = \frac{9}{2}$$ Restamos ambos valores: $$A = (12 - 4\ln(4)) - 4.5 = 7.5 - 4\ln(4)$$ Para simplificar, usamos que $\ln(4) = \ln(2^2) = 2\ln(2)$: $$A = 7.5 - 4(2\ln(2)) = 7.5 - 8\ln(2)$$ $$A = \frac{15}{2} - 8\ln(2) \approx 1.9547 \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{15}{2} - 8\ln(2) \text{ u}^2}$$