Cálculo de un límite por la regla de L'Hôpital

Para calcular el límite, primero evaluamos la función en el punto $x = 0$: $$\lim_{x o 0} \frac{e^x - e^{\text{sen } x}}{x^2} = \frac{e^0 - e^{\text{sen } 0}}{0^2} = \frac{1 - e^0}{0} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo **$\frac{0}{0}$**. Como las funciones del numerador y del denominador son derivables en un entorno de $0$, podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital nos dice que si $\lim_{x o a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, entonces el límite es igual al $\lim_{x o a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, siempre que este último exista.

Derivamos el numerador y el denominador de forma independiente: - Derivada del numerador: $(e^x - e^{\text{sen } x})' = e^x - \cos x \cdot e^{\text{sen } x}$ - Derivada del denominador: $(x^2)' = 2x$ Aplicamos el límite: $$\lim_{x o 0} \frac{e^x - e^{\text{sen } x}}{x^2} = \lim_{x o 0} \frac{e^x - \cos x \cdot e^{\text{sen } x}}{2x}$$ Evaluamos de nuevo en $x = 0$: $$\frac{e^0 - \cos 0 \cdot e^{\text{sen } 0}}{2(0)} = \frac{1 - 1 \cdot 1}{0} = \frac{0}{0}$$ Persiste la indeterminación **$\frac{0}{0}$**, por lo que aplicamos la regla de L'Hôpital por segunda vez.

Derivamos nuevamente el numerador y el denominador: - Numerador: Para derivar $\cos x \cdot e^{\text{sen } x}$ usamos la regla del producto: $$(e^x - \cos x \cdot e^{\text{sen } x})' = e^x - [-\text{sen } x \cdot e^{\text{sen } x} + \cos x \cdot (\cos x \cdot e^{\text{sen } x})] = e^x + \text{sen } x \cdot e^{\text{sen } x} - \cos^2 x \cdot e^{\text{sen } x}$$ - Denominador: $(2x)' = 2$ Planteamos el nuevo límite: $$\lim_{x o 0} \frac{e^x - \cos x \cdot e^{\text{sen } x}}{2x} = \lim_{x o 0} \frac{e^x + \text{sen } x \cdot e^{\text{sen } x} - \cos^2 x \cdot e^{\text{sen } x}}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. En este caso, al derivar el término con el coseno y la exponencial, ten cuidado con el signo negativo que afecta a todo el paréntesis.

Ahora que el denominador es una constante distinta de cero, simplemente sustituimos $x = 0$: $$\lim_{x o 0} \frac{e^x + \text{sen } x \cdot e^{\text{sen } x} - \cos^2 x \cdot e^{\text{sen } x}}{2} = \frac{e^0 + \text{sen } 0 \cdot e^0 - \cos^2 0 \cdot e^0}{2}$$ Sustituyendo los valores trigonométricos ($\text{sen } 0 = 0$ y $\cos 0 = 1$): $$\frac{1 + 0 \cdot 1 - 1^2 \cdot 1}{2} = \frac{1 + 0 - 1}{2} = \frac{0}{2} = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\lim_{x o 0} \frac{e^x - e^{\text{sen } x}}{x^2} = 0}$$ Podemos observar en la siguiente gráfica cómo la función se aproxima a $0$ cuando $x$ tiende a $0$: