Intersección de rectas, ángulo y plano

Para resolver el ejercicio, primero identificamos los elementos característicos (puntos y vectores directores) de ambas rectas. **Recta $r$:** Está en forma continua: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - 1}{-1}$ (observa que $1 - z = -(z - 1)$). Un punto es $P_r(1, 0, 1)$ y su vector director es $\vec{v_r} = (1, 1, -1)$. Sus ecuaciones paramétricas son: $$r: \begin{cases} x = 1 + \mu \\ y = \mu \\ z = 1 - \mu \end{cases}$$ **Recta $s$:** Resolvemos el sistema en función de un parámetro. Si hacemos $y = \lambda$: De $y + z = 1 \implies z = 1 - \lambda$. De $x - 2y = -1 \implies x = -1 + 2\lambda$. Sus ecuaciones paramétricas son: $$s: \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 - \lambda \end{cases}$$ Un punto es $P_s(-1, 0, 1)$ y su vector director es $\vec{v_s} = (2, 1, -1)$. 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, basta con asignar un parámetro a una variable y despejar las demás.

**(a) [0’75 puntos] Determina su punto de corte.** Para hallar el punto de corte, igualamos las coordenadas de las ecuaciones paramétricas de $r$ y $s$: 1. $1 + \mu = -1 + 2\lambda \implies \mu - 2\lambda = -2$ 2. $\mu = \lambda$ 3. $1 - \mu = 1 - \lambda \implies \mu = \lambda$ Sustituimos la relación $\mu = \lambda$ en la primera ecuación: $$\lambda - 2\lambda = -2 \implies -\lambda = -2 \implies \lambda = 2$$ Por tanto, $\mu = 2$. Sustituyendo $\mu = 2$ en la recta $r$ (o $\lambda = 2$ en $s$): $$x = 1 + 2 = 3$$ $$y = 2$$ $$z = 1 - 2 = -1$$ ✅ **Resultado (punto de corte):** $$\boxed{P(3, 2, -1)}$$

**(b) [1 punto] Halla el ángulo que forman $r$ y $s$.** El ángulo $\alpha$ que forman dos rectas es el que forman sus vectores directores $\vec{v_r} = (1, 1, -1)$ y $\vec{v_s} = (2, 1, -1)$. Usamos la fórmula del coseno: $$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{v_r} \cdot \vec{v_s}|}{|\vec{v_r}| \cdot |\vec{v_s}|}$$ Calculamos el producto escalar: $$\vec{v_r} \cdot \vec{v_s} = (1)(2) + (1)(1) + (-1)(-1) = 2 + 1 + 1 = 4$$ Calculamos los módulos: $$|\vec{v_r}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$$ $$|\vec{v_s}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$$ Sustituimos: $$\cos(\alpha) = \frac{|4|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{18}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$ Calculamos el ángulo: $$\alpha = \arccos\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \approx 19.47^\circ$$ 💡 **Tip:** El ángulo entre dos rectas siempre se toma como el agudo, por eso se utiliza el valor absoluto en el producto escalar del numerador. ✅ **Resultado (ángulo):** $$\boxed{\alpha = \arccos\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \approx 19.47^\circ}$$

**(c) [0’75 puntos] Determina la ecuación del plano que contiene a $r$ y $s$.** Como las rectas se cortan, el plano que las contiene está definido por el punto de corte $P(3, 2, -1)$ y los vectores directores de las rectas $\vec{v_r} = (1, 1, -1)$ y $\vec{v_s} = (2, 1, -1)$. El vector normal al plano $\vec{n}$ se obtiene mediante el producto vectorial: $$\vec{n} = \vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{n} = \vec{i}(-1) + \vec{j}(-2) + \vec{k}(1) - [\vec{k}(2) + \vec{i}(-1) + \vec{j}(-1)]$$ $$\vec{n} = -\vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k} - 2\vec{k} + \vec{i} + \vec{j} = (0, -1, -1)$$ La ecuación del plano es de la forma $0x - 1y - 1z + D = 0$. Sustituimos el punto $P(3, 2, -1)$: $$-(2) - (-1) + D = 0 \implies -2 + 1 + D = 0 \implies D = 1$$ Por tanto, la ecuación es $-y - z + 1 = 0$, que multiplicando por $-1$ resulta en: $$y + z - 1 = 0$$ 💡 **Tip:** Observa que una de las ecuaciones que definía la recta $s$ era $y + z = 1$. Dado que $r$ también cumple esa condición, ese es directamente el plano que las contiene. ✅ **Resultado (plano):** $$\boxed{y + z - 1 = 0}$$