Invertibilidad y resolución de ecuaciones matriciales

**(a) [0’5 puntos] Indica los valores de $m$ para los que $A$ es invertible.** Una matriz cuadrada $A$ es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot m \cdot (-m) + 0 \cdot 3 \cdot 4 + (-1) \cdot 0 \cdot 1] - [(-1) \cdot m \cdot 4 + 1 \cdot 3 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \cdot (-m)]$$ $$|A| = [-m^2 + 0 + 0] - [-4m + 3 + 0] = -m^2 + 4m - 3.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista la matriz inversa $A^{-1}$, el determinante de la matriz debe ser no nulo.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $m$ que hacen que la matriz no sea invertible: $$-m^2 + 4m - 3 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$m = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(-1)(-3)}}{2(-1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{-2} = \frac{-4 \pm 2}{-2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $m_1 = \frac{-4 + 2}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$ - $m_2 = \frac{-4 - 2}{-2} = \frac{-6}{-2} = 3$ Por tanto, la matriz $A$ es invertible para todos los valores de $m$ excepto $1$ y $3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m \in \mathbb{R} \setminus \{1, 3\}}$$

**(b) [2 puntos] Resuelve la ecuación matricial $XA - B^t = C$ para $m = 0$.** Primero, despejamos la matriz incógnita $X$. Sumamos $B^t$ en ambos lados y luego multiplicamos por la derecha por $A^{-1}$ (sabemos que existe porque $m=0 \neq 1, 3$): $$XA - B^t = C \implies XA = C + B^t$$ $$X = (C + B^t)A^{-1}$$ 💡 **Tip:** Al despejar en ecuaciones matriciales, el orden de la multiplicación es fundamental. Si multiplicamos por $A^{-1}$ por la derecha en un lado, debemos hacerlo también por la derecha en el otro.

Calculamos primero la traspuesta de $B$ y luego la suma con $C$: $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \implies B^t = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora sumamos $C + B^t$: $$C + B^t = \begin{pmatrix} 5 & -3 & 4 \\ -3 & -2 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 3 \\ -3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$ Llamaremos a esta matriz resultante $D = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 3 \\ -3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$.

Para $m=0$, la matriz es $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \\ 4 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. 1. Determinante: $|A| = -(0)^2 + 4(0) - 3 = -3$. 2. Matriz de adjuntos $Adj(A)$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -3$; $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} = 12$; $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$; $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} = 4$; $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 0$; $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = -3$; $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ $$Adj(A) = \begin{pmatrix} -3 & 12 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -3 & 0 \end{pmatrix}$$ 3. Traspuesta de la matriz de adjuntos y división por el determinante: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^t = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} -3 & -1 & 0 \\ 12 & 4 & -3 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La fórmula de la inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} [Adj(A)]^t$.

Multiplicamos $D \cdot A^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 3 \\ -3 & 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \left[ \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} -3 & -1 & 0 \\ 12 & 4 & -3 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \right]$$ Es más sencillo multiplicar primero las matrices y luego aplicar el escalar $-\frac{1}{3}$: $$X = -\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 6(-3)+0(12)+3(0) & 6(-1)+0(4)+3(-1) & 6(0)+0(-3)+3(0) \\ -3(-3)+0(12)+3(0) & -3(-1)+0(4)+3(-1) & -3(0)+0(-3)+3(0) \end{pmatrix}$$ $$X = -\frac{1}{3} \begin{pmatrix} -18 & -9 & 0 \\ 9 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Dividimos cada elemento por $-3$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 6 & 3 & 0 \\ -3 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$