Integral definida con cambio de variable y partes

Para resolver la integral, seguimos la sugerencia y aplicamos el cambio de variable $t = \sqrt{x}$. 1. **Relación entre las variables**: Si $t = \sqrt{x}$, entonces $x = t^2$. 2. **Diferencial**: Derivamos $x$ respecto a $t$: $$\frac{dx}{dt} = 2t \implies dx = 2t \, dt$$ 3. **Nuevos límites de integración**: - Si $x = 0 \implies t = \sqrt{0} = 0$. - Si $x = \pi^2 \implies t = \sqrt{\pi^2} = \pi$. Sustituyendo en la integral original: $$ \int_0^{\pi^2} \text{sen}(\sqrt{x}) \, dx = \int_0^{\pi} \text{sen}(t) \cdot (2t \, dt) = 2 \int_0^{\pi} t \, \text{sen}(t) \, dt $$ 💡 **Tip:** Al realizar un cambio de variable en una integral definida, es mucho más cómodo cambiar también los límites de integración para no tener que deshacer el cambio al final.

Ahora debemos resolver la integral indefinida $\int t \, \text{sen}(t) \, dt$ utilizando el método de **integración por partes**. Elegimos las partes según la regla ALPES: - $u = t \implies du = dt$ - $dv = \text{sen}(t) \, dt \implies v = \int \text{sen}(t) \, dt = -\cos(t)$ Aplicamos la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int t \, \text{sen}(t) \, dt = t(-\cos(t)) - \int (-\cos(t)) \, dt = -t \cos(t) + \int \cos(t) \, dt$$ $$\int t \, \text{sen}(t) \, dt = -t \cos(t) + \text{sen}(t)$$ Por tanto, nuestra primitiva multiplicada por 2 es: $$F(t) = 2[-t \cos(t) + \text{sen}(t)]$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla de integración por partes: «Un Día Vi Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme».

Para finalizar, evaluamos la primitiva en los límites de integración $[0, \pi]$ aplicando la **Regla de Barrow**. $$\int_0^{\pi^2} \text{sen}(\sqrt{x}) \, dx = 2 \left[ -t \cos(t) + \text{sen}(t) \right]_0^{\pi}$$ Evaluamos en el límite superior ($t = \pi$): $$2 [-\pi \cos(\pi) + \text{sen}(\pi)] = 2 [-\pi(-1) + 0] = 2\pi$$ Evaluamos en el límite inferior ($t = 0$): $$2 [-0 \cos(0) + \text{sen}(0)] = 2 [0 + 0] = 0$$ Restamos los resultados: $$2\pi - 0 = 2\pi$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{2\pi}$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es cualquier primitiva de $f(x)$.