Cálculo de parámetros y recta tangente

**(a) [1’5 puntos] Calcula $a$ y $b$ para que la gráfica de $f$ pase por el punto $(2, 3)$ y tenga una asíntota oblicua con pendiente $-4$.** Una función racional $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ tiene una asíntota oblicua $y = mx + n$ si el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el del denominador. La pendiente $m$ se calcula como: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$$ En nuestro caso: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{ax^2 + b}{a - x}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{ax^2 + b}{ax - x^2}$$ Como es un límite al infinito de un cociente de polinomios del mismo grado ($x^2$), el resultado es el cociente de los coeficientes principales: $$m = \frac{a}{-1} = -a$$ Sabiendo que la pendiente debe ser $-4$: $$-a = -4 \implies a = 4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para una función racional, si el grado de $P(x)$ es $n+1$ y el de $Q(x)$ es $n$, la pendiente de la asíntota oblicua es el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado. $$\boxed{a = 4}$$

La gráfica de $f$ pasa por el punto $(2, 3)$, lo que significa que $f(2) = 3$. Sustituimos $a = 4$ en la función: $$f(x) = \frac{4x^2 + b}{4 - x}$$ Ahora imponemos la condición $f(2) = 3$: $$f(2) = \frac{4(2)^2 + b}{4 - 2} = 3$$ $$\frac{16 + b}{2} = 3$$ $$16 + b = 6 \implies b = 6 - 16 = -10$$ Por tanto, los valores buscados son: $$\boxed{a = 4, \quad b = -10}$$

**(b) [1 punto] Para el caso $a = 2, b = 3$, obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$.** Con los valores dados, la función es: $$f(x) = \frac{2x^2 + 3}{2 - x}$$ Primero calculamos la ordenada del punto de tangencia sustituyendo $x = 1$: $$y_0 = f(1) = \frac{2(1)^2 + 3}{2 - 1} = \frac{5}{1} = 5$$ El punto de tangencia es **$(1, 5)$**. 💡 **Tip:** La ecuación de la recta tangente en $x = x_0$ es $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$.

La pendiente de la recta tangente en $x = 1$ es el valor de la derivada $f'(1)$. Derivamos la función usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(4x)(2 - x) - (2x^2 + 3)(-1)}{(2 - x)^2}$$ $$f'(x) = \frac{8x - 4x^2 + 2x^2 + 3}{(2 - x)^2} = \frac{-2x^2 + 8x + 3}{(2 - x)^2}$$ Ahora evaluamos en $x = 1$: $$m = f'(1) = \frac{-2(1)^2 + 8(1) + 3}{(2 - 1)^2} = \frac{-2 + 8 + 3}{1^2} = 9$$ La pendiente es **$m = 9$**.

Utilizamos la forma punto-pendiente con el punto $(1, 5)$ y la pendiente $m = 9$: $$y - 5 = 9(x - 1)$$ $$y = 9x - 9 + 5$$ $$y = 9x - 4$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{y = 9x - 4}$$