Volumen de un tetraedro y recta perpendicular a un plano

**(a) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro de vértices $A, B, C$ y $D$.** Para calcular el volumen del tetraedro, primero necesitamos definir tres vectores que partan de un mismo vértice (por ejemplo, el vértice $A$) hacia los otros tres vértices ($B, C$ y $D$): $$\vec{AB} = B - A = (0 - 1, -2 - 1, 2 - 1) = (-1, -3, 1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (-1 - 1, 0 - 1, 2 - 1) = (-2, -1, 1)$$ $$\vec{AD} = D - A = (2 - 1, -1 - 1, 2 - 1) = (1, -2, 1)$$ 💡 **Tip:** El volumen de un tetraedro se define como la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de tres vectores que concurren en un vértice: $V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|$.

Calculamos el producto mixto $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]$ resolviendo el determinante de la matriz formada por los componentes de los vectores utilizando la regla de Sarrus: $$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = \begin{vmatrix} -1 & -3 & 1 \\ -2 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$= [(-1) \cdot (-1) \cdot 1] + [(-3) \cdot 1 \cdot 1] + [1 \cdot (-2) \cdot (-2)] - [1 \cdot (-1) \cdot 1] - [(-1) \cdot 1 \cdot (-2)] - [(-3) \cdot (-2) \cdot 1]$$ $$= [1] + [-3] + [4] - [-1] - [2] - [6]$$ $$= 1 - 3 + 4 + 1 - 2 - 6 = -5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto mixto representa el volumen del paralelepípedo definido por los vectores. El signo negativo indica la orientación de la base, pero para el volumen usaremos el valor absoluto.

Aplicamos la fórmula del volumen del tetraedro: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]| = \frac{1}{6} |-5| = \frac{5}{6} \text{ u}^3$$ ✅ **Resultado (Volumen):** $$\boxed{V = \frac{5}{6} \text{ unidades cúbicas}}$$

**(b) [1’5 puntos] Determina la ecuación de la recta que pasa por $D$ y es perpendicular al plano que contiene a los puntos $A, B$ y $C$.** Si la recta $r$ es perpendicular al plano que contiene a $A, B$ y $C$, su vector director $\vec{d_r}$ debe ser paralelo al vector normal del plano $\vec{n_{\pi}}$. El vector normal al plano se obtiene mediante el producto vectorial de dos vectores contenidos en el plano, como $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{n_{\pi}} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -3 & 1 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera fila: $$\vec{n_{\pi}} = \vec{i} \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ -2 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n_{\pi}} = \vec{i}(-3 - (-1)) - \vec{j}(-1 - (-2)) + \vec{k}(1 - 6)$$ $$\vec{n_{\pi}} = -2\vec{i} - 1\vec{j} - 5\vec{k} = (-2, -1, -5)$$ Para simplificar la ecuación de la recta, podemos usar como vector director $\vec{d_r} = (2, 1, 5)$. 💡 **Tip:** Si una recta es perpendicular a un plano, el vector normal del plano sirve como vector director de la recta.

La recta $r$ pasa por el punto $D(2, -1, 2)$ y tiene como dirección $\vec{d_r} = (2, 1, 5)$. Podemos expresar la recta en su forma continua: $$r \equiv \frac{x - 2}{2} = \frac{y - (-1)}{1} = \frac{z - 2}{5}$$ $$r \equiv \frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{5}$$ O en su forma paramétrica: $$r \equiv \begin{cases} x = 2 + 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = 2 + 5\lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado (Ecuación de la recta):** $$\boxed{r \equiv \begin{cases} x = 2 + 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = 2 + 5\lambda \end{cases}}$$