Área entre una parábola y una recta con parámetro

Para calcular el área del recinto, primero identificamos las funciones que lo limitan y buscamos sus puntos de intersección: 1. Parábola: $f(x) = x^2 + ax$ 2. Recta: $y + x = 0 \implies g(x) = -x$ Igualamos ambas funciones para hallar los puntos de corte: $$x^2 + ax = -x$$ $$x^2 + ax + x = 0 \implies x^2 + (a + 1)x = 0$$ Factorizamos la ecuación: $$x(x + a + 1) = 0$$ Las soluciones son: - $x_1 = 0$ - $x_2 = -(a + 1)$ Dado que el enunciado indica que **$a > 0$**, sabemos que $a + 1 > 1$, por lo tanto, $-(a + 1)$ es un valor negativo. Así, los límites de integración serán **$x = -(a + 1)$** (límite inferior) y **$x = 0$** (límite superior). 💡 **Tip:** Los puntos de corte de las funciones definen los límites del intervalo de integración para el cálculo del área.

Para plantear la integral del área, debemos saber qué función queda por encima de la otra en el intervalo $[-(a + 1), 0]$. Podemos probar con un valor intermedio o analizar el signo de la diferencia $g(x) - f(x)$. Tomemos la expresión obtenida al igualar las funciones: $$h(x) = g(x) - f(x) = -x - (x^2 + ax) = -x^2 - (a + 1)x$$ Como es una parábola con ramas hacia abajo (coeficiente de $x^2$ negativo) y sus raíces son $-(a+1)$ y $0$, entre dichas raíces la función es positiva. Por tanto, en el intervalo de interés: $$g(x) \ge f(x)$$ El área $A$ se define como: $$A = \int_{-(a+1)}^{0} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{-(a+1)}^{0} (-x^2 - (a+1)x) \, dx$$

Calculamos la primitiva y aplicamos la Regla de Barrow: $$\int (-x^2 - (a+1)x) \, dx = -\frac{x^3}{3} - (a+1)\frac{x^2}{2}$$ Ahora evaluamos en los límites: $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{(a+1)x^2}{2} \right]_{-(a+1)}^{0}$$ Sustituimos el límite superior (0): $$F(0) = -\frac{0^3}{3} - \frac{(a+1)0^2}{2} = 0$$ Sustituimos el límite inferior $(-(a+1))$: $$F(-(a+1)) = -\frac{(-(a+1))^3}{3} - \frac{(a+1)(-(a+1))^2}{2}$$ $$F(-(a+1)) = -\frac{-(a+1)^3}{3} - \frac{(a+1)^3}{2} = \frac{(a+1)^3}{3} - \frac{(a+1)^3}{2}$$ Calculamos la resta $F(0) - F(-(a+1))$: $$A = 0 - \left( \frac{2(a+1)^3 - 3(a+1)^3}{6} \right) = - \left( -\frac{(a+1)^3}{6} \right) = \frac{(a+1)^3}{6}$$ 💡 **Tip:** La regla de Barrow establece que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$.

El enunciado nos dice que el área vale 36 unidades cuadradas, por lo que igualamos el resultado obtenido: $$\frac{(a + 1)^3}{6} = 36$$ Multiplicamos por 6 en ambos lados: $$(a + 1)^3 = 36 \cdot 6$$ $$(a + 1)^3 = 216$$ Despejamos $a$ aplicando la raíz cúbica: $$a + 1 = \sqrt[3]{216}$$ Como $216 = 6^3$, entonces: $$a + 1 = 6 \implies a = 5$$ Como el enunciado especificaba que $a > 0$, el valor obtenido es válido. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 5}$$