Recta tangente y normal. Condición de paralelismo

**(a) [1’5 puntos] Determina, si existen, los puntos de la gráfica de $f$ en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta de ecuación $x - 2y + 1 = 0$.** Para encontrar los puntos donde la recta tangente tiene una pendiente determinada, primero necesitamos calcular la función derivada $f'(x)$. Dada $f(x) = \ln(x^2 + 3x)$, aplicamos la regla de la cadena para el logaritmo: $$f'(x) = \frac{(x^2 + 3x)'}{x^2 + 3x} = \frac{2x + 3}{x^2 + 3x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\ln(u)$ es $\frac{u'}{u}$. Aquí $u = x^2 + 3x$. $$\boxed{f'(x) = \frac{2x + 3}{x^2 + 3x}}$$

Se nos indica que la recta tangente debe ser paralela a la recta $x - 2y + 1 = 0$. Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Despejamos $y$ en la ecuación de la recta para hallar su pendiente ($m$): $$x + 1 = 2y \implies y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$$ La pendiente de esta recta es **$m = \frac{1}{2}$**. Por tanto, buscamos los puntos de la gráfica de $f$ donde $f'(x) = \frac{1}{2}$.

Igualamos la derivada a la pendiente hallada: $$\frac{2x + 3}{x^2 + 3x} = \frac{1}{2}$$ Multiplicamos en cruz para resolver la ecuación: $$2(2x + 3) = 1(x^2 + 3x)$$ $$4x + 6 = x^2 + 3x$$ $$x^2 - x - 6 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$$ Las soluciones son $x_1 = 3$ y $x_2 = -2$. **Comprobación del dominio:** La función está definida para $x \in (0, +\infty)$. - $x = 3$ pertenece al dominio ($3 \gt 0$). - $x = -2$ **no** pertenece al dominio ($-2 \ngtr 0$). Calculamos la ordenada para $x = 3$: $$f(3) = \ln(3^2 + 3 \cdot 3) = \ln(9 + 9) = \ln(18)$$ ✅ **Resultado (punto buscado):** $$\boxed{P(3, \ln(18))}$$

**(b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 3$.** Para $x = 3$, ya conocemos: - El punto de tangencia: $P(3, \ln(18))$. - La pendiente de la tangente: $m_t = f'(3) = \frac{1}{2}$. Usamos la fórmula del punto-pendiente $y - f(a) = f'(a)(x - a)$: $$y - \ln(18) = \frac{1}{2}(x - 3)$$ Podemos expresarla de forma explícita: $$y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} + \ln(18)$$ 💡 **Tip:** La recta tangente en un punto $(a, f(a))$ representa la mejor aproximación lineal de la función en ese entorno. ✅ **Resultado (recta tangente):** $$\boxed{y - \ln(18) = \frac{1}{2}(x - 3)}$$

La recta normal es perpendicular a la tangente. Su pendiente ($m_n$) cumple que $m_n = -\frac{1}{f'(3)}$. Calculamos la pendiente de la normal: $$m_n = -\frac{1}{1/2} = -2$$ Usamos de nuevo la fórmula del punto-pendiente con el punto $P(3, \ln(18))$: $$y - \ln(18) = -2(x - 3)$$ Simplificando: $$y - \ln(18) = -2x + 6 \implies y = -2x + 6 + \ln(18)$$ ✅ **Resultado (recta normal):** $$\boxed{y - \ln(18) = -2(x - 3)}$$