Geometría en el espacio: Plano mediador y plano paralelo a recta

**(a) [1’5 puntos] Determina la ecuaci´on del plano formado por los puntos que equidistan de $A$ y de $B$.** El conjunto de puntos $P(x, y, z)$ que equidistan de dos puntos $A$ y $B$ definen el **plano mediador** del segmento $AB$. Este plano cumple dos condiciones geométricas: 1. Pasa por el **punto medio** $M$ del segmento $AB$. 2. Su **vector normal** $\vec{n}$ es el vector director del segmento, es decir, $\vec{AB}$ (o cualquier vector proporcional). 💡 **Tip:** Equidistar significa que la distancia $d(P, A) = d(P, B)$. Aunque se puede resolver igualando las fórmulas de distancia, usar el punto medio y el vector normal es mucho más rápido y menos propenso a errores de cálculo.

Calculamos el punto medio $M$ de $A(1, 0, 2)$ y $B(-1, 2, 4)$: $$M = \left( \frac{1 + (-1)}{2}, \frac{0 + 2}{2}, \frac{2 + 4}{2} \right) = \left( \frac{0}{2}, \frac{2}{2}, \frac{6}{2} \right) = (0, 1, 3)$$ Calculamos el vector normal $\vec{n}$ como el vector $\vec{AB}$: $$\vec{n} = \vec{AB} = B - A = (-1 - 1, 2 - 0, 4 - 2) = (-2, 2, 2)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional más sencillo: $$\vec{n}' = (1, -1, -1)$$ (Hemos dividido por $-2$). $$\boxed{M(0, 1, 3), \quad \vec{n}(1, -1, -1)}$$

La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal. Usamos $\vec{n}(1, -1, -1)$: $$1x - 1y - 1z + D = 0 \implies x - y - z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto medio $M(0, 1, 3)$: $$0 - 1 - 3 + D = 0 \implies -4 + D = 0 \implies D = 4$$ La ecuación del plano es $x - y - z + 4 = 0$. ✅ **Resultado apartado (a):** $$\boxed{x - y - z + 4 = 0}$$

**(b) [1 punto] Halla la ecuaci´on del plano paralelo a $r$ y que contiene los puntos $A$ y $B$.** Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores (no paralelos). Si el plano $\pi$ contiene a $A$ y $B$, y es paralelo a $r$, sus vectores directores serán: 1. El vector que une los puntos: $\vec{u} = \vec{AB} = (-2, 2, 2)$. 2. El vector director de la recta $r$: $\vec{v_r}$. Extraemos el vector director de la recta $r$ a partir de su ecuación continua: $$\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{3} \implies \vec{v_r} = (2, 1, 3)$$ 💡 **Tip:** Cuando una recta viene dada en forma continua $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$, el vector director es $(a, b, c)$.

El vector normal $\vec{n}_{\pi}$ del plano será el producto vectorial de sus dos vectores directores: $$\vec{n}_{\pi} = \vec{AB} \times \vec{v_r} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus: $$\vec{n}_{\pi} = \vec{i}(2 \cdot 3) + \vec{j}(2 \cdot 2) + \vec{k}(-2 \cdot 1) - \left[ \vec{k}(2 \cdot 2) + \vec{i}(2 \cdot 1) + \vec{j}(-2 \cdot 3) \right]$$ $$\vec{n}_{\pi} = (6\vec{i} + 4\vec{j} - 2\vec{k}) - (4\vec{k} + 2\vec{i} - 6\vec{j})$$ $$\vec{n}_{\pi} = (6 - 2)\vec{i} + (4 - (-6))\vec{j} + (-2 - 4)\vec{k} = 4\vec{i} + 10\vec{j} - 6\vec{k}$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo entre $2$: $$\vec{n}_{\pi} = (2, 5, -3)$$ $$\boxed{\vec{n}_{\pi} = (2, 5, -3)}$$

Utilizamos la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$ con el vector normal $(2, 5, -3)$: $$2x + 5y - 3z + D = 0$$ Imponemos que pase por el punto $A(1, 0, 2)$: $$2(1) + 5(0) - 3(2) + D = 0 \implies 2 + 0 - 6 + D = 0 \implies -4 + D = 0 \implies D = 4$$ ✅ **Resultado apartado (b):** $$\boxed{2x + 5y - 3z + 4 = 0}$$