Discusión de un sistema de ecuaciones con parámetros

**(a) [1’5 puntos] Calcula razonadamente un valor de $\lambda$ para que el sistema resultante al añadirle la ecuación $x + y + \lambda z = 9$ sea compatible indeterminado.** Escribimos el sistema completo añadiendo la tercera ecuación: $$ \begin{cases} 3x - 2y + z = 5 \\ 2x - 3y + z = -4 \\ x + y + \lambda z = 9 \end{cases} $$ Para discutir el sistema, definimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$ A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 & 5 \\ 2 & -3 & 1 & -4 \\ 1 & 1 & \lambda & 9 \end{pmatrix} $$ 💡 **Tip:** Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, para que un sistema sea **Compatible Indeterminado (SCI)** de 3 incógnitas, se debe cumplir que $rang(A) = rang(A^*) < 3$.

Para que el rango de $A$ sea menor que 3, su determinante debe ser igual a cero. Calculamos $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$ |A| = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{vmatrix} = (3 \cdot (-3) \cdot \lambda) + (-2 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot 2 \cdot 1) - [1 \cdot (-3) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 3 + \lambda \cdot 2 \cdot (-2)] $$ $$ |A| = (-9\lambda - 2 + 2) - (-3 + 3 - 4\lambda) = -9\lambda - (-4\lambda) = -5\lambda $$ Igualamos a cero para encontrar el valor crítico de $\lambda$: $$ -5\lambda = 0 \implies \lambda = 0 $$ 💡 **Tip:** Si $|A| \neq 0$, el rango es 3 y el sistema sería Compatible Determinado (solución única). Por tanto, la única posibilidad de tener un SCI es que $\lambda = 0$.

Si $\lambda = 0$, la matriz de coeficientes es: $$ A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $rang(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$ \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = -9 - (-4) = -5 \neq 0 \implies rang(A) = 2 $$ Ahora calculamos el rango de $A^*$. Tomamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$ \begin{vmatrix} 3 & -2 & 5 \\ 2 & -3 & -4 \\ 1 & 1 & 9 \end{vmatrix} = (-81 + 8 + 10) - (-15 - 12 - 36) = -63 - (-63) = 0 $$ Como todos los menores de orden 3 que podemos formar en $A^*$ son cero (el que incluye la columna 3 es el determinante de $A$, que ya sabemos que es 0), entonces: $$ rang(A^*) = 2 $$ Como $rang(A) = rang(A^*) = 2 < 3$ (número de incógnitas), el sistema es compatible indeterminado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lambda = 0}$$

**(b) [1 punto] ¿Existe algún valor de $\lambda$ para el cual el sistema resultante no tiene solución?** Para que el sistema no tenga solución (**Incompatible**), se debe cumplir que $rang(A) \neq rang(A^*)$. Analizamos los dos casos posibles para $\lambda$: 1. **Si $\lambda \neq 0$**: Hemos visto que $|A| = -5\lambda \neq 0$. Por tanto, $rang(A) = 3$. Como el rango de la ampliada no puede ser mayor que 3 ni menor que el de $A$, entonces $rang(A^*) = 3$. Al ser los rangos iguales, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. 2. **Si $\lambda = 0$**: Hemos demostrado en el apartado anterior que $rang(A) = 2$ y $rang(A^*) = 2$. Al ser los rangos iguales, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. En ningún caso los rangos son distintos, por lo que el sistema siempre tiene solución. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe ningún valor de } \lambda \text{ para el cual el sistema sea incompatible.}}$$