Primitiva de la función logaritmo neperiano

Para hallar una primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \ln(x + 2)$, debemos calcular la integral indefinida: $$F(x) = \int \ln(x + 2) \, dx$$ Como la función es un logaritmo neperiano, utilizaremos el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla mnemotécnica común es "Un Día Vi Una Vaca Sin Cola Vestida De Uniforme".

Elegimos las partes $u$ y $dv$ siguiendo la regla ALPES (donde las Logarítmicas tienen prioridad para ser $u$): - Sea $u = \ln(x + 2) \implies du = \dfrac{1}{x + 2} \, dx$ - Sea $dv = dx \implies v = x$ Aplicamos la fórmula: $$\int \ln(x + 2) \, dx = x \ln(x + 2) - \int x \cdot \frac{1}{x + 2} \, dx$$ $$\int \ln(x + 2) \, dx = x \ln(x + 2) - \int \frac{x}{x + 2} \, dx$$

Para resolver $\int \dfrac{x}{x + 2} \, dx$, realizamos una manipulación algebraica sencilla sumando y restando 2 en el numerador para separar la fracción: $$\frac{x}{x + 2} = \frac{x + 2 - 2}{x + 2} = \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{2}{x + 2} = 1 - \frac{2}{x + 2}$$ Ahora integramos término a término: $$\int \left( 1 - \frac{2}{x + 2} \right) dx = \int 1 \, dx - 2 \int \frac{1}{x + 2} \, dx = x - 2 \ln(x + 2)$$ 💡 **Tip:** Como el dominio de la función es $x \in (-2, +\infty)$, el argumento $x+2$ es siempre positivo, por lo que no es estrictamente necesario el valor absoluto dentro del logaritmo.

Sustituimos el resultado de la integral racional en nuestra expresión original de $F(x)$: $$F(x) = x \ln(x + 2) - [x - 2 \ln(x + 2)] + C$$ $$F(x) = x \ln(x + 2) - x + 2 \ln(x + 2) + C$$ Agrupando los términos con logaritmo: $$F(x) = (x + 2) \ln(x + 2) - x + C$$ Esta es la **familia de todas las primitivas** de la función $f(x)$.

El enunciado nos pide la primitiva específica que verifica $F(0) = 0$. Sustituimos $x = 0$ en nuestra expresión y resolvemos para $C$: $$F(0) = (0 + 2) \ln(0 + 2) - 0 + C = 0$$ $$2 \ln(2) + C = 0$$ $$C = -2 \ln(2)$$ 💡 **Tip:** Usando las propiedades de los logaritmos, también podríamos escribir $C = -\ln(2^2) = -\ln(4)$.

Sustituimos el valor de $C$ en la expresión de $F(x)$ para obtener la solución definitiva: $$F(x) = (x + 2) \ln(x + 2) - x - 2 \ln(2)$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{F(x) = (x + 2) \ln(x + 2) - x - \ln(4)}$$ (Ambas formas, con $2\ln 2$ o con $\ln 4$, son correctas).