Optimización del área de un triángulo rectángulo

Sean $x$ e $y$ las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo (en metros). Dado que la hipotenusa es de $5$ metros, aplicamos el **Teorema de Pitágoras** para establecer la relación entre las variables: $$x^2 + y^2 = 5^2 \implies x^2 + y^2 = 25$$ De aquí podemos despejar una de las variables en función de la otra. Como las longitudes deben ser positivas, tenemos el dominio restringido a $0 \lt x \lt 5$: $$y = \sqrt{25 - x^2}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización geométrica, el primer paso siempre es dibujar el esquema y encontrar la ecuación de ligadura (restricción) entre las variables.

La función que queremos maximizar es el área del triángulo, que para un triángulo rectángulo es el producto de sus catetos dividido por dos: $$A = \frac{x \cdot y}{2}$$ Sustituimos la expresión de $y$ obtenida anteriormente para tener el área como función de una sola variable, $A(x)$: $$A(x) = \frac{x \cdot \sqrt{25 - x^2}}{2} = \frac{1}{2}x\sqrt{25-x^2}$$ El dominio de esta función para el contexto del problema es $x \in (0, 5)$.

Para hallar el máximo, calculamos la derivada $A'(x)$ usando la regla del producto y de la cadena: $$A'(x) = \frac{1}{2} \left[ 1 \cdot \sqrt{25-x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{25-x^2}} \right]$$ Simplificamos la expresión: $$A'(x) = \frac{1}{2} \left[ \sqrt{25-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{25-x^2}} \right]$$ Ponemos común denominador dentro del paréntesis: $$A'(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{(\sqrt{25-x^2})^2 - x^2}{\sqrt{25-x^2}} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{25 - x^2 - x^2}{\sqrt{25-x^2}} \right] = \frac{25 - 2x^2}{2\sqrt{25-x^2}}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$A'(x) = 0 \implies 25 - 2x^2 = 0 \implies 2x^2 = 25 \implies x^2 = 12.5$$ Como $x$ debe ser positivo: $$x = \sqrt{12.5} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3.536 \text{ m}$$ 💡 **Tip:** Para derivar una raíz, recuerda que $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

Analizamos el signo de $A'(x)$ en el intervalo $(0, 5)$ para confirmar que el punto crítico es un máximo. El denominador $2\sqrt{25-x^2}$ siempre es positivo en el dominio, por lo que el signo depende del numerador $25 - 2x^2$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, \sqrt{12.5}) & \sqrt{12.5} & (\sqrt{12.5}, 5) \\ \hline A'(x) & + & 0 & - \\ \hline A(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - Para $x \lt \sqrt{12.5}$, $A'(x) \gt 0$, por lo que la función es creciente. - Para $x \gt \sqrt{12.5}$, $A'(x) \lt 0$, por lo que la función es decreciente. Por tanto, en $x = \frac{5\sqrt{2}}{2}$ se alcanza el **área máxima**.

Ya conocemos el valor del primer cateto $x = \frac{5\sqrt{2}}{2}$. Calculamos ahora el valor del otro cateto $y$: $$y = \sqrt{25 - x^2} = \sqrt{25 - (\sqrt{12.5})^2} = \sqrt{25 - 12.5} = \sqrt{12.5} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$ Como $x = y$, el triángulo de área máxima con hipotenusa fija es el **triángulo rectángulo isósceles**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = \frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ m}, \quad y = \frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ m}}$$ """interactive""": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "area", "latex": "A(x) = 0.5x\\sqrt{25-x^2}", "color": "#2563eb" }, { "id": "max_point", "latex": "(3.536, A(3.536))", "color": "#ef4444", "label": "Área Máxima" }, { "id": "dom", "latex": "0 \\le x \\le 5", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 6, "bottom": -1, "top": 8 } } }