Optimización de beneficios en periodo de rebajas

En primer lugar, determinamos el precio de venta al público (PVP) antes de las rebajas. El proveedor vende el producto a $300$ euros. El comerciante aplica un incremento del $40\%$: $$\text{Incremento} = 300 \cdot 0,40 = 120 \text{ euros}.$$ $$P_0 = 300 + 120 = 420 \text{ euros}.$$ Sabemos que a este precio ($420$ €), las ventas son de $50$ unidades mensuales. 💡 **Tip:** Para calcular un incremento porcentual, puedes multiplicar directamente por $(1 + i)$. En este caso: $300 \cdot 1,40 = 420$.

Definimos la variable principal para el periodo de rebajas: Sea $x$ el número de reducciones de $3$ euros aplicadas al precio. - **Precio de venta durante las rebajas ($P$):** Se reduce $3$ euros por cada unidad de $x$. $$P(x) = 420 - 3x$$ - **Número de unidades vendidas ($Q$):** Por cada reducción $x$, las ventas aumentan en $5$ unidades. $$Q(x) = 50 + 5x$$ - **Coste por unidad:** El coste para el comerciante sigue siendo de $300$ euros. El beneficio unitario será la diferencia entre el precio de venta y el coste: $$\text{Beneficio unitario} = P(x) - 300 = (420 - 3x) - 300 = 120 - 3x.$$ 💡 **Tip:** Es fundamental definir claramente qué representa la variable $x$ para construir correctamente las expresiones del precio y la cantidad.

El beneficio total $B(x)$ es el producto del beneficio unitario por el número de unidades vendidas: $$B(x) = (120 - 3x) \cdot (50 + 5x)$$ Multiplicamos los binomios para obtener la expresión polinómica: $$B(x) = 120 \cdot 50 + 120 \cdot 5x - 3x \cdot 50 - 3x \cdot 5x$$ $$B(x) = 6000 + 600x - 150x - 15x^2$$ $$B(x) = -15x^2 + 450x + 6000.$$ Esta es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola abierta hacia abajo, por lo que su vértice será un máximo. $$\boxed{B(x) = -15x^2 + 450x + 6000}$$

Para maximizar el beneficio, derivamos la función $B(x)$ e igualamos a cero: $$B'(x) = -30x + 450.$$ Resolvemos la ecuación $B'(x) = 0$: $$-30x + 450 = 0 \implies 30x = 450 \implies x = \frac{450}{30} = 15.$$ El valor crítico es **$x = 15$**. 💡 **Tip:** Recuerda que los extremos relativos de una función derivable se encuentran entre los puntos que anulan su primera derivada.

Comprobamos que se trata de un máximo utilizando la segunda derivada o estudiando el signo de la primera derivada. Calculamos la segunda derivada: $$B''(x) = -30.$$ Como $B''(15) = -30 \lt 0$, confirmamos que en $x = 15$ existe un **máximo relativo** (y absoluto por ser una parábola). También podemos observar el cambio de signo de la pendiente: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 15) & 15 & (15, +\infty)\\ \hline B'(x) & + & 0 & - \end{array}$$ La función crece antes de $x=15$ y decrece después, confirmando el máximo.

Ahora sustituimos $x = 15$ en las expresiones de cantidad y precio para responder a la pregunta: 1. **Número de unidades a pedir ($Q$):** $$Q(15) = 50 + 5(15) = 50 + 75 = 125 \text{ unidades}.$$ 2. **Precio de venta de cada unidad ($P$):** $$P(15) = 420 - 3(15) = 420 - 45 = 375 \text{ euros}.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Debe pedir } 125 \text{ unidades a un precio de } 375 \text{ euros cada una.}}$$