Optimización del coste de construcción de una bodega

**a) El valor $x$ de la anchura de la base que minimiza el coste. (2,3 puntos).** Primero definimos las dimensiones del paralelepípedo en función de las variables dadas: - Anchura de la base: $x$ - Largo de la base: $\frac{4}{3}x$ - Altura de la bodega: $h$ Sabemos que el volumen es $V = 100 \text{ m}^3$. La fórmula del volumen de un paralelepípedo es $V = \text{largo} \cdot \text{ancho} \cdot \text{alto}$. $$100 = \left( \frac{4}{3}x \right) \cdot x \cdot h = \frac{4}{3}x^2 h$$ Despejamos la altura $h$ en función de $x$ para poder expresar el coste como una función de una sola variable: $$h = \frac{100 \cdot 3}{4x^2} = \frac{300}{4x^2} = \frac{75}{x^2}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización con restricciones, el primer paso siempre es expresar todas las variables en función de una sola utilizando el dato del volumen o área proporcionado.

Calculamos el área de cada parte para multiplicar por su precio unitario: 1. **Suelo y Techo:** Tienen la misma superficie $A_{base} = x \cdot \frac{4}{3}x = \frac{4}{3}x^2$. - Coste suelo: $225 \cdot \frac{4}{3}x^2 = 300x^2$ - Coste techo: $300 \cdot \frac{4}{3}x^2 = 400x^2$ 2. **Paredes laterales:** Hay dos pares de paredes: - Dos paredes de dimensiones $x \times h$: $2 \cdot (x \cdot h)$ - Dos paredes de dimensiones $\frac{4}{3}x \times h$: $2 \cdot (\frac{4}{3}x \cdot h) = \frac{8}{3}xh$ - Área lateral total: $2xh + \frac{8}{3}xh = \frac{14}{3}xh$ - Coste paredes: $256 \cdot \frac{14}{3}xh = \frac{3584}{3}xh$ Sustituimos $h = \frac{75}{x^2}$ en el coste de las paredes: $$\text{Coste paredes} = \frac{3584}{3}x \left( \frac{75}{x^2} \right) = \frac{3584 \cdot 25}{x} = \frac{89600}{x}$$ La función de coste total $C(x)$ será: $$C(x) = 300x^2 + 400x^2 + \frac{89600}{x} = 700x^2 + \frac{89600}{x}$$

Para hallar el mínimo de $C(x)$, derivamos respecto a $x$ e igualamos a cero: $$C'(x) = 1400x - \frac{89600}{x^2}$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$1400x - \frac{89600}{x^2} = 0 \implies 1400x = \frac{89600}{x^2} \implies 1400x^3 = 89600$$ $$x^3 = \frac{89600}{1400} = \frac{896}{14} = 64$$ $$x = \sqrt[3]{64} = 4$$ Por tanto, el valor crítico es **$x = 4$ metros**. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\frac{k}{x}$ es $-\frac{k}{x^2}$.

Debemos comprobar que en $x=4$ existe un mínimo relativo. Calculamos la segunda derivada: $$C''(x) = 1400 + \frac{2 \cdot 89600}{x^3} = 1400 + \frac{179200}{x^3}$$ Evaluamos en $x=4$: $$C''(4) = 1400 + \frac{179200}{64} = 1400 + 2800 = 4200 > 0$$ Como $C''(4) > 0$, la función presenta un **mínimo relativo** en $x=4$. Dado que el dominio de $x$ es $(0, +\infty)$ y solo hay un punto crítico, se trata del mínimo absoluto. También podemos verificarlo con la tabla de monotonía: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 4) & 4 & (4, +\infty) \\ \hline C'(x) & - & 0 & + \\ \hline C(x) & \searrow & \min & \nearrow \end{array} $$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 4 \text{ m}}$$

**b) Dicho coste mínimo. (1 punto).** Sustituimos el valor $x = 4$ en la función de coste total $C(x)$: $$C(4) = 700(4)^2 + \frac{89600}{4}$$ $$C(4) = 700(16) + 22400$$ $$C(4) = 11200 + 22400 = 33600$$ El coste total de la construcción de la bodega para esas dimensiones óptimas es de $33600 \text{ €}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Coste mínimo} = 33600 \text{ €}}$$