Estudio de simetría, integración y puntos de inflexión

**a) La función $f(x) + f(-x)$. (1,1 puntos).** En primer lugar, evaluamos la función en $-x$ sustituyendo cada ocurrencia de $x$ por $(-x)$: $$f(-x) = e^{(-x)} - e^{-(-x)} = e^{-x} - e^x.$$ Ahora, realizamos la suma de $f(x)$ y $f(-x)$: $$f(x) + f(-x) = (e^x - e^{-x}) + (e^{-x} - e^x).$$ Agrupando términos semejantes: $$f(x) + f(-x) = e^x - e^x - e^{-x} + e^{-x} = 0.$$ 💡 **Tip:** Cuando $f(x) + f(-x) = 0$, significa que $f(-x) = -f(x)$, lo que implica que la función es **impar** y simétrica respecto al origen. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) + f(-x) = 0}$$

**b) La integral $\int_{-a}^{a} f(x) dx$, donde $a$ es un número real positivo. (1,1 puntos).** Calculamos primero la integral indefinida de la función $f(x) = e^x - e^{-x}$: $$\int (e^x - e^{-x}) dx = \int e^x dx - \int e^{-x} dx = e^x - (-e^{-x}) + C = e^x + e^{-x} + C.$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** para evaluar la integral definida en el intervalo $[-a, a]$: $$\int_{-a}^{a} f(x) dx = \left[ e^x + e^{-x} \right]_{-a}^{a}$$ Sustituimos los límites de integración: $$\left[ e^a + e^{-a} \right] - \left[ e^{-a} + e^{-(-a)} \right] = (e^a + e^{-a}) - (e^{-a} + e^a).$$ Simplificamos la expresión: $$e^a + e^{-a} - e^{-a} - e^a = 0.$$ 💡 **Tip:** Por definición, la integral de cualquier función impar en un intervalo simétrico respecto al origen $[-a, a]$ es siempre $0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0}$$

**c) El punto de inflexión de $f(x)$. (1,1 puntos).** Para localizar los puntos de inflexión, necesitamos encontrar los valores de $x$ donde la segunda derivada se anula y cambia de signo. Calculamos la primera derivada: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x - e^{-x}) = e^x - (-e^{-x}) = e^x + e^{-x}.$$ Calculamos la segunda derivada: $$f''(x) = \frac{d}{dx}(e^x + e^{-x}) = e^x + (-e^{-x}) = e^x - e^{-x}.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{kx}$ es $k \cdot e^{kx}$.

Igualamos la segunda derivada a cero: $$f''(x) = 0 \implies e^x - e^{-x} = 0 \implies e^x = e^{-x}.$$ Para resolver esta ecuación, multiplicamos ambos lados por $e^x$ (que nunca es cero): $$e^x \cdot e^x = 1 \implies e^{2x} = 1.$$ Aplicando logaritmos neperianos: $$2x = \ln(1) \implies 2x = 0 \implies x = 0.$$ Estudiamos el signo de $f''(x)$ alrededor de $x = 0$ para confirmar el cambio de curvatura: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty)\\ \hline f''(x) & - & 0 & +\\ \hline \text{Curvatura} & \text{Cóncava } (\cap) & \text{Inflexión} & \text{Convexa } (\cup) \end{array}$$ Calculamos la ordenada del punto sustituyendo $x=0$ en $f(x)$: $$f(0) = e^0 - e^{-0} = 1 - 1 = 0.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Punto de inflexión: } (0, 0)}$$