Estudio de función racional, fracciones simples e integral definida

**a) Determinar, razonadamente, el dominio y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x) = \frac{1}{(3-x)(3+x)}$. (1 punto).** El dominio de una función racional está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Igualamos el denominador a cero: $$(3-x)(3+x) = 0 \implies 9 - x^2 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3.$$ Por tanto, el dominio es: $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las raíces del denominador suelen indicar la presencia de asíntotas verticales y dividen la recta real en intervalos para el estudio de la monotonía.

Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, calculamos la primera derivada $f'(x)$. Primero expresamos $f(x)$ como: $$f(x) = \frac{1}{9 - x^2}.$$ Derivamos usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{0 \cdot (9-x^2) - 1 \cdot (-2x)}{(9-x^2)^2} = \frac{2x}{(9-x^2)^2}.$$ Para hallar los puntos críticos, hacemos $f'(x) = 0$: $$\frac{2x}{(9-x^2)^2} = 0 \implies 2x = 0 \implies x = 0.$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio y el punto crítico: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-3) & -3 & (-3,0) & 0 & (0,3) & 3 & (3,+\infty) \\ \hline 2x & - & \text{n.d.} & - & 0 & + & \text{n.d.} & + \\ (9-x^2)^2 & + & 0 & + & + & + & 0 & + \\ \hline f'(x) & - & \text{n.d.} & - & 0 & + & \text{n.d.} & + \end{array}$$ Concluimos los intervalos de monotonía: - **Decreciente:** $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, 0)$ - **Creciente:** $x \in (0, 3) \cup (3, +\infty)$ 💡 **Tip:** El denominador $(9-x^2)^2$ siempre es positivo en el dominio, por lo que el signo de $f'(x)$ depende únicamente del numerador $2x$. $$\boxed{\text{Decrece: } (-\infty, -3) \cup (-3, 0); \quad \text{Crece: } (0, 3) \cup (3, +\infty)}$$

**b) Obtener razonadamente los valores $A$ y $B$ tales que $\frac{1}{(3-x)(3+x)} = \frac{A}{3-x} + \frac{B}{3+x}$. (1 punto).** Igualamos las expresiones mediante común denominador: $$\frac{1}{(3-x)(3+x)} = \frac{A(3+x) + B(3-x)}{(3-x)(3+x)}.$$ Igualamos los numeradores: $$1 = A(3+x) + B(3-x).$$ Para hallar $A$ y $B$, damos valores a $x$ coincidentes con las raíces del denominador: - Si $x = 3$: $1 = A(3+3) + B(3-3) \implies 1 = 6A \implies A = \frac{1}{6}.$ - Si $x = -3$: $1 = A(3-3) + B(3-(-3)) \implies 1 = 6B \implies B = \frac{1}{6}.$ 💡 **Tip:** Este método se llama descomposición en fracciones simples y es fundamental para integrar funciones racionales donde el grado del numerador es menor que el del denominador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = \frac{1}{6}, \quad B = \frac{1}{6}}$$

**c) Calcular razonadamente el área de la superficie $S$ limitada por la curva $y = \frac{1}{(3-x)(3+x)}$, el eje $OX$ y las rectas de ecuaciones $x = -2$ y $x = 2$. (1,3 puntos).** El área viene dada por la integral definida de la función entre los límites $x = -2$ y $x = 2$. Primero comprobamos si la función cambia de signo en el intervalo $[-2, 2]$. Como el denominador $9-x^2$ es positivo para cualquier $x \in (-3, 3)$ y el numerador es $1$, la función $f(x) > 0$ en todo el intervalo de integración. $$S = \int_{-2}^{2} \frac{1}{(3-x)(3+x)} \, dx.$$ Utilizamos la descomposición obtenida en el apartado anterior: $$S = \int_{-2}^{2} \left( \frac{1/6}{3-x} + \frac{1/6}{3+x} \right) \, dx = \frac{1}{6} \int_{-2}^{2} \frac{1}{3-x} \, dx + \frac{1}{6} \int_{-2}^{2} \frac{1}{3+x} \, dx.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a} \ln|ax+b| + C$. Ten cuidado con el signo negativo en el término $\frac{1}{3-x}$.

Calculamos la primitiva: $$\int \left( \frac{1/6}{3-x} + \frac{1/6}{3+x} \right) \, dx = \frac{1}{6} \left[ -\ln|3-x| + \ln|3+x| \right] = \frac{1}{6} \left[ \ln\left| \frac{3+x}{3-x} \right| \right].$$ Aplicamos la regla de Barrow entre $-2$ y $2$: $$S = \frac{1}{6} \left( \ln\left| \frac{3+2}{3-2} \right| - \ln\left| \frac{3+(-2)}{3-(-2)} \right| \right)$$ $$S = \frac{1}{6} \left( \ln(5) - \ln\left( \frac{1}{5} \right) \right).$$ Usando las propiedades de los logaritmos ($\ln(1/5) = -\ln(5)$): $$S = \frac{1}{6} (\ln 5 - (-\ln 5)) = \frac{1}{6} (2 \ln 5) = \frac{1}{3} \ln 5.$$ Calculando el valor aproximado: $$S \approx \frac{1}{3} \cdot 1,6094 \approx 0,5365 \text{ u}^2.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{S = \dfrac{1}{3} \ln 5 \text{ u}^2}$$