Geometría en el espacio: Rectas y planos perpendicularidad

**a) La ecuación de la recta que pasa por $A$ y es perpendicular al plano de ecuación $z = 0$. (1 punto).** Nos piden una recta $r$ que pase por el punto $A(4,4,0)$ y sea perpendicular al plano $XY$ (cuya ecuación es $z=0$). El plano $\pi: z=0$ tiene como vector normal el vector unitario del eje $Z$: $$\vec{n}_{\pi} = (0, 0, 1)$$ Como la recta $r$ debe ser perpendicular al plano, el vector director de la recta, $\vec{v}_r$, debe ser paralelo al vector normal del plano: $$\vec{v}_r = \vec{n}_{\pi} = (0, 0, 1)$$ 💡 **Tip:** Si una recta es perpendicular a un plano, el vector normal del plano sirve como vector director de la recta.

Utilizamos el punto $A(4,4,0)$ y el vector director $\vec{v}_r = (0,0,1)$ para escribir la ecuación de la recta en forma paramétrica: $$\begin{cases} x = 4 \\ y = 4 \\ z = \lambda \end{cases} \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}$$ También podemos expresarla en forma continua igualando las variables constantes: $$\frac{x-4}{0} = \frac{y-4}{0} = \frac{z}{1} \implies x=4, y=4$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: \begin{cases} x = 4 \\ y = 4 \end{cases}}$$

**b) La ecuación de un plano que cumpla las dos condiciones siguientes: • Pase por $P$ y por un punto $Q$ de la recta de ecuación $x = y = 4$. • Sea perpendicular a la recta que pasa por $O$ y $Q$. (2,3 puntos por hallar uno de los dos planos solución).** Primero, definimos el punto $Q$. Sabemos que $Q$ pertenece a la recta $x=y=4$. En paramétricas, esta recta es: $$\begin{cases} x = 4 \\ y = 4 \\ z = t \end{cases}$$ Por tanto, cualquier punto $Q$ de esa recta tiene la forma $Q(4, 4, t)$ para algún valor de $t$.

La segunda condición dice que el plano $\pi$ es perpendicular a la recta que pasa por $O(0,0,0)$ y $Q(4,4,t)$. El vector director de dicha recta es $\vec{OQ} = (4, 4, t)$. Este vector será el vector normal de nuestro plano: $$\vec{n}_{\pi} = \vec{OQ} = (4, 4, t)$$ La ecuación general del plano será de la forma: $$4x + 4y + tz + D = 0$$ Para hallar $D$, usamos el hecho de que el plano pasa por $P(0, 0, 12)$: $$4(0) + 4(0) + t(12) + D = 0 \implies D = -12t$$ Sustituyendo $D$, la ecuación del plano queda: $$\pi: 4x + 4y + tz - 12t = 0$$

La primera condición también exige que el punto $Q(4, 4, t)$ pertenezca al plano $\pi$. Sustituimos las coordenadas de $Q$ en la ecuación obtenida: $$4(4) + 4(4) + t(t) - 12t = 0$$ $$16 + 16 + t^2 - 12t = 0$$ $$t^2 - 12t + 32 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2}$$ $$t = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{12 \pm 4}{2}$$ Esto nos da dos posibles valores para $t$: 1. $t_1 = \frac{12 + 4}{2} = 8$ 2. $t_2 = \frac{12 - 4}{2} = 4$ 💡 **Tip:** Como el enunciado pide "la ecuación de un plano" y menciona que hay dos soluciones, basta con calcular una para obtener la puntuación máxima, aunque aquí calcularemos ambas.

Sustituimos cada valor de $t$ en la ecuación general $4x + 4y + tz - 12t = 0$: **Caso 1: $t = 8$** $$4x + 4y + 8z - 12(8) = 0 \implies 4x + 4y + 8z - 96 = 0$$ Simplificando entre 4: $$\pi_1: x + y + 2z - 24 = 0$$ **Caso 2: $t = 4$** $$4x + 4y + 4z - 12(4) = 0 \implies 4x + 4y + 4z - 48 = 0$$ Simplificando entre 4: $$\pi_2: x + y + z - 12 = 0$$ ✅ **Resultado (cualquiera de los dos es válido):** $$\boxed{x + y + 2z - 24 = 0 \quad \text{o} \quad x + y + z - 12 = 0}$$