Intersección de plano con ejes: área, perímetro y ángulos

Para resolver todos los apartados, primero debemos identificar las coordenadas de los vértices $A, B$ y $C$ del triángulo, que son los puntos donde el plano $\pi: x + 4y - 2z - 4 = 0$ corta a los ejes coordenados. * **Punto $A$ (Eje $OX$):** En este eje, $y = 0$ y $z = 0$. $$x + 4(0) - 2(0) - 4 = 0 \implies x = 4 \implies \mathbf{A(4, 0, 0)}$$ * **Punto $B$ (Eje $OY$):** En este eje, $x = 0$ y $z = 0$. $$0 + 4y - 2(0) - 4 = 0 \implies 4y = 4 \implies y = 1 \implies \mathbf{B(0, 1, 0)}$$ * **Punto $C$ (Eje $OZ$):** En este eje, $x = 0$ y $y = 0$. $$0 + 4(0) - 2z - 4 = 0 \implies -2z = 4 \implies z = -2 \implies \mathbf{C(0, 0, -2)}$$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte con los ejes siempre tienen dos coordenadas nulas. Basta con sustituir esas coordenadas en la ecuación del plano.

**a) El área del triángulo $ABC$. (1,1 puntos).** El área de un triángulo con vértices $A, B$ y $C$ se calcula mediante el módulo del producto vectorial de dos vectores que partan del mismo vértice: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ Calculamos los vectores: $$\vec{AB} = B - A = (0-4, 1-0, 0-0) = (-4, 1, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0-4, 0-0, -2-0) = (-4, 0, -2)$$ Realizamos el producto vectorial paso a paso mediante el determinante: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & -2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{i}(-2) - \vec{j}(8) + \vec{k}(4) = (-2, -8, 4)$$ Calculamos el módulo del vector resultante: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-8)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 64 + 16} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$$ El área es: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{21} = \sqrt{21} \approx 4.58 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \sqrt{21} \text{ u}^2}$$

**b) El perímetro del triángulo $ABC$. (1,1 puntos).** El perímetro es la suma de las longitudes de los tres lados: $d(A,B) + d(B,C) + d(A,C)$. Calculamos la longitud de cada vector: 1. **Lado $AB$:** $|\vec{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$ 2. **Lado $AC$:** $|\vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ 3. **Lado $BC$:** $$\vec{BC} = C - B = (0-0, 0-1, -2-0) = (0, -1, -2)$$ $$|\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$ Sumamos las longitudes: $$\text{Perímetro} = \sqrt{17} + 2\sqrt{5} + \sqrt{5} = \sqrt{17} + 3\sqrt{5}$$ Numéricamente: $\sqrt{17} + 3\sqrt{5} \approx 4.123 + 6.708 = 10.831 \text{ u}.$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Perímetro} = \sqrt{17} + 3\sqrt{5} \text{ u}}$$

**c) Los tres ángulos interiores del triángulo $ABC$. (1,1 puntos).** Para hallar el ángulo en un vértice, utilizamos la definición de producto escalar entre los dos vectores que divergen de dicho vértice: $$\cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$$ * **Ángulo $\widehat{A}$:** Usamos $\vec{AB} = (-4, 1, 0)$ y $\vec{AC} = (-4, 0, -2)$. $$\cos A = \frac{(-4)(-4) + (1)(0) + (0)(-2)}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{20}} = \frac{16}{\sqrt{340}} \implies A = \arccos\left(\frac{16}{\sqrt{340}}\right) \approx \mathbf{29.74^\circ}$$ * **Ángulo $\widehat{B}$:** Usamos $\vec{BA} = (4, -1, 0)$ y $\vec{BC} = (0, -1, -2)$. $$\cos B = \frac{(4)(0) + (-1)(-1) + (0)(-2)}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{85}} \implies B = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{85}}\right) \approx \mathbf{83.77^\circ}$$ * **Ángulo $\widehat{C}$:** Usamos $\vec{CA} = (4, 0, 2)$ y $\vec{CB} = (0, 1, 2)$. $$\cos C = \frac{(4)(0) + (0)(1) + (2)(2)}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{100}} = \frac{4}{10} = 0.4 \implies C = \arccos(0.4) \approx \mathbf{66.42^\circ}$$ **Comprobación:** $29.74^\circ + 83.77^\circ + 66.42^\circ = 179.93^\circ$ (la diferencia a $180^\circ$ se debe al redondeo). 💡 **Tip:** Asegúrate de que los vectores para cada ángulo salgan del mismo vértice (ej. para el ángulo B, usa $\vec{BA}$ y $\vec{BC}$). Si usas un vector entrante y otro saliente, obtendrás el ángulo suplementario. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\widehat{A} \approx 29.74^\circ, \quad \widehat{B} \approx 83.77^\circ, \quad \widehat{C} \approx 66.42^\circ}$$