Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a) Justificar que para el valor $\alpha = 0$ el sistema es incompatible. (1,1 puntos).** Escribimos las matrices del sistema, la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$, sustituyendo $\alpha = 0$: $$A = \begin{pmatrix} 3 & -4 & -2 \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & -3 & -2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 3 & -4 & -2 & 4 \\ 1 & -2 & -2 & 2 \\ 2 & -3 & -2 & 4 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante de $A$ por la regla de Sarrus: $$|A| = [3(-2)(-2) + (-4)(-2)(2) + (-2)(1)(-3)] - [(-2)(-2)(2) + (-4)(1)(-2) + 3(-2)(-3)]$$ $$|A| = [12 + 16 + 6] - [8 + 8 + 18] = 34 - 34 = 0$$ Como $|A|=0$, el rango de $A$ es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -6 + 4 = -2 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ estudiando el determinante formado por las columnas 1, 2 y 4 (términos independientes): $$\begin{vmatrix} 3 & -4 & 4 \\ 1 & -2 & 2 \\ 2 & -3 & 4 \end{vmatrix} = 3(-8+6) - (-4)(4-4) + 4(-3+4) = -6 + 0 + 4 = -2 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, su rango es 3. 💡 **Tip:** Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, si $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$, el sistema no tiene solución. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{rango}(A)=2 \neq \text{rango}(A^*)=3 \implies \text{Sistema Incompatible}}$$

**b) Determinar los valores del parámetro $\alpha$ para los que el sistema es compatible y determinado. (1,1 puntos).** Para que el sistema sea Compatible Determinado (SCD), el determinante de la matriz de coeficientes $A$ debe ser distinto de cero. Calculamos $|A|$ en función de $\alpha$: $$|A| = \begin{vmatrix} \alpha+3 & -4 & -2 \\ 1 & -2 & -(\alpha+2) \\ 2 & \alpha-3 & -2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(\alpha+3)(-2)(-2) + (-4)(-\alpha-2)(2) + (-2)(1)(\alpha-3)] - [2(-2)(-2) + (\alpha+3)(\alpha-3)(-\alpha-2) + (-2)(1)(-4)]$$ $$|A| = [4\alpha+12 + 8\alpha+16 - 2\alpha+6] - [8 - (\alpha^2-9)(\alpha+2) + 8]$$ $$|A| = [10\alpha+34] - [16 - (\alpha^3+2\alpha^2-9\alpha-18)]$$ $$|A| = 10\alpha+34 - (16 - \alpha^3-2\alpha^2+9\alpha+18) = 10\alpha+34 - (34 - \alpha^3-2\alpha^2+9\alpha)$$ $$|A| = \alpha^3 + 2\alpha^2 + \alpha$$ 💡 **Tip:** Factorizar el polinomio ayuda a encontrar las raíces rápidamente. Aquí extraemos factor común $\alpha$. $$\boxed{|A| = \alpha(\alpha^2 + 2\alpha + 1) = \alpha(\alpha+1)^2}$$

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$\alpha(\alpha+1)^2 = 0 \implies \alpha_1 = 0, \quad \alpha_2 = -1$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es compatible determinado si el rango de la matriz es igual al número de incógnitas (3). Esto ocurre cuando el determinante es distinto de cero. Por tanto, el sistema es SCD si $\alpha \neq 0$ y $\alpha \neq -1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0, -1\}}$$

**c) Resolver el sistema para el valor del parámetro $\alpha$ para el cual es compatible indeterminado. (1,1 puntos).** Del estudio anterior sabemos que para $\alpha=0$ es incompatible. Veamos qué ocurre si $\alpha = -1$: La matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 2 & -4 & -2 & 4 \\ 1 & -2 & -1 & 2 \\ 2 & -4 & -2 & 4 \end{pmatrix}$$ Observamos las filas: - La fila 1 ($F_1$) es igual a la fila 3 ($F_3$). - La fila 1 ($F_1$) es el doble de la fila 2 ($F_2$). Por tanto, las tres ecuaciones son proporcionales y el sistema se reduce a una sola ecuación lineal: $$x - 2y - z = 2$$ Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 1 \lt 3$ (incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. 💡 **Tip:** Un sistema con una sola ecuación válida y tres incógnitas requiere 2 parámetros para su solución ($3 - 1 = 2$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = -1 \text{ es el valor para el cual el sistema es SCI}}$$

Para resolver $x - 2y - z = 2$, tomamos como parámetros $y$ y $z$: Sea $y = \lambda$ y $z = \mu$, con $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. Despejamos $x$ en función de los parámetros: $$x = 2 + 2y + z \implies x = 2 + 2\lambda + \mu$$ La solución general del sistema es el conjunto de puntos: $$(x, y, z) = (2 + 2\lambda + \mu, \lambda, \mu)$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x = 2 + 2\lambda + \mu \\ y = \lambda \\ z = \mu \end{cases} \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}}$$