Inversa, Determinantes y Ecuación Matricial

**a) Justificar que la matriz $A$ tiene inversa y obtener razonadamente la matriz inversa $A^{-1}$, incluyendo en la respuesta todos los pasos que llevan a la obtención de $A^{-1}$. (1,1 puntos).** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$. Al ser una matriz triangular superior (todos los elementos por debajo de la diagonal principal son cero), su determinante es el producto de los elementos de su diagonal principal: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & 6 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 3 \cdot 1 = 9.$$ Como $|A| = 9 \neq 0$, queda **justificado que la matriz $A$ es invertible**. 💡 **Tip:** El determinante de cualquier matriz triangular (superior o inferior) es siempre el producto de los elementos de su diagonal principal.

Para obtener $A^{-1}$ utilizaremos la fórmula: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} [\text{Adj}(A)]^t$$ 1. Calculamos la matriz de los adjuntos $\text{Adj}(A)$: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} +\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 3 & 6 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 3 & 6 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} \end{pmatrix}$$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ -6 & 3 & 0 \\ 12 & -6 & 9 \end{pmatrix}$$ 2. Hallamos la traspuesta de la matriz adjunta: $$[\text{Adj}(A)]^t = \begin{pmatrix} 3 & -6 & 12 \\ 0 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$$ 3. Dividimos por $|A|=9$: $$A^{-1} = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 3 & -6 & 12 \\ 0 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 & -2/3 & 4/3 \\ 0 & 1/3 & -2/3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/3 & -2/3 & 4/3 \\ 0 & 1/3 & -2/3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) Calcular, razonadamente, el determinante de la matriz $3 A^{-1}$, incluyendo en la respuesta todos los pasos realizados. (1,1 puntos).** Utilizaremos las propiedades de los determinantes: 1. **Propiedad del producto por un escalar:** Si $M$ es una matriz de orden $n$, entonces $|k \cdot M| = k^n \cdot |M|$. En este caso, $A$ es una matriz $3 \times 3$, por lo que $n=3$ y $k=3$. 2. **Propiedad de la inversa:** $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$. Aplicamos estas propiedades paso a paso: $$|3 A^{-1}| = 3^3 \cdot |A^{-1}| = 27 \cdot \frac{1}{|A|}$$ Sustituimos el valor de $|A| = 9$ calculado en el apartado anterior: $$|3 A^{-1}| = 27 \cdot \frac{1}{9} = 3.$$ 💡 **Tip:** Es mucho más eficiente usar propiedades que calcular la matriz $3A^{-1}$ y luego su determinante por Sarrus. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|3 A^{-1}| = 3}$$

**c) Obtener razonadamente los valores reales $x, y, z$ que verifican la ecuación $xI + yA + zA^2 = B$. (1,1 puntos).** Primero necesitamos calcular $A^2$: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 3 & 6 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 6 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$A^2 = \begin{pmatrix} 3\cdot 3 + 6\cdot 0 + 0\cdot 0 & 3\cdot 6 + 6\cdot 3 + 0\cdot 0 & 3\cdot 0 + 6\cdot 2 + 0\cdot 1 \\ 0\cdot 3 + 3\cdot 0 + 2\cdot 0 & 0\cdot 6 + 3\cdot 3 + 2\cdot 0 & 0\cdot 0 + 3\cdot 2 + 2\cdot 1 \\ 0\cdot 3 + 0\cdot 0 + 1\cdot 0 & 0\cdot 6 + 0\cdot 3 + 1\cdot 0 & 0\cdot 0 + 0\cdot 2 + 1\cdot 1 \end{pmatrix}$$ $$A^2 = \begin{pmatrix} 9 & 36 & 12 \\ 0 & 9 & 8 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al multiplicar matrices triangulares superiores, el resultado siempre será otra matriz triangular superior.

Sustituimos $I$, $A$ y $A^2$ en la ecuación $xI + yA + zA^2 = B$: $$x \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 3 & 6 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 9 & 36 & 12 \\ 0 & 9 & 8 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 48 & 12 \\ 0 & 18 & 12 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$$ Igualamos los elementos correspondientes de las matrices: - Elemento (1,1): $x + 3y + 9z = 18$ - Elemento (1,2): $6y + 36z = 48 \implies y + 6z = 8$ - Elemento (1,3): $12z = 12 \implies z = 1$ - Elemento (2,2): $x + 3y + 9z = 18$ (repetida) - Elemento (2,3): $2y + 8z = 12$ - Elemento (3,3): $x + y + z = 6$ Resolvemos el sistema empezando por la más sencilla: 1. De $12z = 12 \implies \mathbf{z = 1}$. 2. Sustituimos $z$ en $y + 6z = 8$: $y + 6(1) = 8 \implies \mathbf{y = 2}$. 3. Sustituimos $y$ y $z$ en $x + y + z = 6$: $x + 2 + 1 = 6 \implies \mathbf{x = 3}$. Verificamos los valores en las ecuaciones restantes: - $2y + 8z = 12 \implies 2(2) + 8(1) = 4 + 8 = 12$ (Correcto). - $x + 3y + 9z = 18 \implies 3 + 3(2) + 9(1) = 3 + 6 + 9 = 18$ (Correcto). ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 3, \quad y = 2, \quad z = 1}$$