Velocidad de crecimiento de la diagonal de una lámina

**Averiguar la velocidad de crecimiento de la diagonal de dicha lámina cuando la base y la altura de la lámina miden, respectivamente, 8 y 6 cm.** En primer lugar, definimos las variables que dependen del tiempo $t$ (en minutos): - $b(t)$: base de la lámina en cm. - $h(t)$: altura de la lámina en cm. - $d(t)$: diagonal de la lámina en cm. El enunciado nos da las velocidades de crecimiento (razones de cambio) de la base y la altura en milímetros. Debemos pasarlas a centímetros para ser consistentes con las medidas de la lámina: $$\frac{db}{dt} = 0,2 \text{ mm/min} = 0,02 \text{ cm/min}$$ $$\frac{dh}{dt} = 0,2 \text{ mm/min} = 0,02 \text{ cm/min}$$ Los datos en el instante preciso $t_0$ son: - $b(t_0) = 8 \text{ cm}$ - $h(t_0) = 6 \text{ cm}$ 💡 **Tip:** Es fundamental que todas las magnitudes del problema estén en las mismas unidades antes de operar. En este caso, transformamos los $0,2 \text{ mm}$ a $0,02 \text{ cm}$.

La relación entre la base, la altura y la diagonal de un rectángulo viene dada por el **Teorema de Pitágoras**: $$[d(t)]^2 = [b(t)]^2 + [h(t)]^2$$ En el instante dado, calculamos el valor de la diagonal $d$: $$d = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}.$$ Para visualizar la situación, representamos la lámina:

Para hallar la velocidad de crecimiento de la diagonal, $\frac{dd}{dt}$, derivamos la relación de Pitágoras respecto al tiempo $t$ usando la **regla de la cadena**: $$\frac{d}{dt}\left( [d(t)]^2 \right) = \frac{d}{dt}\left( [b(t)]^2 + [h(t)]^2 \right)$$ $$2 \cdot d(t) \cdot \frac{dd}{dt} = 2 \cdot b(t) \cdot \frac{db}{dt} + 2 \cdot h(t) \cdot \frac{dh}{dt}$$ Simplificamos dividiendo toda la ecuación por $2$: $$d \cdot \frac{dd}{dt} = b \cdot \frac{db}{dt} + h \cdot \frac{dh}{dt}$$ 💡 **Tip:** Cuando derivamos magnitudes que dependen del tiempo, cada variable $x$ genera un término $\frac{dx}{dt}$ por la regla de la cadena.

Sustituimos los valores conocidos en la ecuación derivada: - $d = 10$ - $b = 8$ - $h = 6$ - $\frac{db}{dt} = 0,02$ - $\frac{dh}{dt} = 0,02$ $$10 \cdot \frac{dd}{dt} = 8 \cdot (0,02) + 6 \cdot (0,02)$$ $$10 \cdot \frac{dd}{dt} = 0,16 + 0,12$$ $$10 \cdot \frac{dd}{dt} = 0,28$$ Despejamos la incógnita: $$\frac{dd}{dt} = \frac{0,28}{10} = 0,028 \text{ cm/min}$$ Si queremos expresar el resultado en las unidades originales del crecimiento (mm/min): $$0,028 \text{ cm/min} = 0,28 \text{ mm/min}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{La diagonal crece a una velocidad de } 0,28 \text{ mm/min}}$$