Optimización: Distancia mínima entre dos lanchas

Para resolver este problema de optimización, lo primero es situar las lanchas en un sistema de ejes cartesianos para definir sus posiciones en función del tiempo $t$ (en horas, transcurridas desde las 7:00). Consideramos la posición inicial de la lancha $B$ como el origen de coordenadas $(0,0)$. - **Lancha $B$**: Se dirige hacia el norte (eje $Y$ positivo) a 30 km/h. Su posición es $B(t) = (0, 30t)$. - **Lancha $A$**: Inicialmente está a 150 km al este, en $(150, 0)$, y navega hacia el oeste (eje $X$ negativo) a 40 km/h. Su posición es $A(t) = (150 - 40t, 0)$. Donde $t \ge 0$ es el tiempo en horas. 💡 **Tip:** Situar uno de los objetos en el origen facilita enormemente el planteamiento de las ecuaciones de movimiento.

La distancia $d(t)$ entre las dos lanchas es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por sus posiciones: $$d(t) = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}$$ $$d(t) = \sqrt{(150 - 40t - 0)^2 + (0 - 30t)^2}$$ $$d(t) = \sqrt{(150 - 40t)^2 + (-30t)^2}$$ Para facilitar el cálculo de la derivada, podemos optimizar el cuadrado de la distancia, $f(t) = [d(t)]^2$, ya que el valor de $t$ que minimiza el cuadrado de la distancia también minimiza la distancia (al ser la raíz cuadrada una función creciente para valores positivos). $$f(t) = (150 - 40t)^2 + 900t^2$$ Desarrollamos el binomio: $$f(t) = 22500 - 12000t + 1600t^2 + 900t^2$$ $$f(t) = 2500t^2 - 12000t + 22500$$ 💡 **Tip:** En problemas de distancia con raíces, derivar el cuadrado de la función suele simplificar los cálculos y evita errores con la regla de la cadena de la raíz.

Derivamos la función $f(t)$ respecto al tiempo para encontrar el mínimo: $$f'(t) = 5000t - 12000$$ Igualamos la derivada a cero para hallar el punto crítico: $$5000t - 12000 = 0 \implies 5000t = 12000$$ $$t = \frac{12000}{5000} = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ horas}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un punto crítico es aquel donde la derivada se anula o no existe.

Debemos comprobar que en $t = 2.4$ existe un mínimo relativo. Utilizaremos el criterio de la segunda derivada: $$f''(t) = 5000$$ Como $f''(2.4) = 5000 \gt 0$, la función presenta un **mínimo** en $t = 2.4$. También podemos observar el signo de la primera derivada: $$ \begin{array}{c|ccc} t & (0, 2.4) & 2.4 & (2.4, +\infty)\\ \hline f'(t) & - & 0 & + \end{array} $$ Como la función decrece antes de $t=2.4$ y crece después, confirmamos el mínimo. ✅ **Resultado intermedio:** $$\boxed{t = 2.4 \text{ horas}}$$

El problema nos pide la hora a la que estarán a distancia mínima. Sabemos que partieron a las 7:00 y han transcurrido $2.4$ horas. Convertimos la parte decimal de las horas a minutos: $$0.4 \text{ horas} = 0.4 \cdot 60 \text{ minutos} = 24 \text{ minutos}$$ Por lo tanto, el tiempo transcurrido es de **2 horas y 24 minutos**. Sumamos este tiempo a la hora de salida: $$7:00 + 2:24 = 9:24$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Estarán a distancia mínima a las 9:24 horas}}$$