Estudio de derivadas, puntos de inflexión y pendiente máxima

**a) Las derivadas primera y segunda de la función $f(x)$. (0,8 puntos).** Para calcular la primera derivada de $f(x) = \frac{8}{1+x^2}$, aplicamos la regla de la derivada de un cociente o, de forma más sencilla, la regla de la cadena tratando la función como $f(x) = 8(1+x^2)^{-1}$. Derivando mediante la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{0 \cdot (1+x^2) - 8 \cdot (2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{-16x}{(1+x^2)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $f(x) = \frac{k}{g(x)}$, su derivada es $f'(x) = -\frac{k \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$. $$\boxed{f'(x) = \frac{-16x}{(1+x^2)^2}}$$

Para hallar $f''(x)$, derivamos $f'(x) = \frac{-16x}{(1+x^2)^2}$ usando la regla del cociente: $$f''(x) = \frac{(-16) \cdot (1+x^2)^2 - (-16x) \cdot 2(1+x^2) \cdot 2x}{((1+x^2)^2)^2}$$ Simplificamos extrayendo factor común $(1+x^2)$ en el numerador: $$f''(x) = \frac{(1+x^2) \left[ -16(1+x^2) + 64x^2 \right]}{(1+x^2)^4}$$ $$f''(x) = \frac{-16 - 16x^2 + 64x^2}{(1+x^2)^3} = \frac{48x^2 - 16}{(1+x^2)^3}$$ Podemos factorizar el numerador para facilitar los cálculos posteriores: $$f''(x) = \frac{16(3x^2 - 1)}{(1+x^2)^3}$$ $$\boxed{f''(x) = \frac{16(3x^2 - 1)}{(1+x^2)^3}}$$

**b) Los puntos de inflexión de la curva $y = f(x)$. (1 punto).** Los puntos de inflexión se encuentran entre los valores que anulan la segunda derivada, siempre que haya un cambio de curvatura en ellos. Resolvemos $f''(x) = 0$: $$\frac{16(3x^2 - 1)}{(1+x^2)^3} = 0 \implies 3x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{3}$$ Esto nos da dos posibles puntos: $$x_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}, \quad x_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ Como el denominador $(1+x^2)^3$ es siempre positivo para cualquier $x \in \mathbb{R}$, el signo de $f''(x)$ dependerá únicamente del numerador $16(3x^2 - 1)$.

Analizamos el signo de $f''(x)$ en los intervalos definidos por las raíces: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -\sqrt{3}/3) & -\sqrt{3}/3 & (-\sqrt{3}/3, \sqrt{3}/3) & \sqrt{3}/3 & (\sqrt{3}/3, +\infty)\\ \hline f''(x) & + & 0 & - & 0 & +\\ \hline \text{Curvatura} & \text{Convexa (\cup)} & \text{Inflexión} & \text{Cóncava (\cap)} & \text{Inflexión} & \text{Convexa (\cup)} \end{array}$$ Calculamos las ordenadas de los puntos: Para $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \implies f\left(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{8}{1 + (1/3)} = \frac{8}{4/3} = \frac{24}{4} = 6$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}, 6\right) \text{ y } P_2\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, 6\right)}$$

**c) La pendiente máxima de las rectas tangentes a la curva $y = f(x)$. (1,5 puntos).** La pendiente de la recta tangente en un punto $x$ viene dada por la función $m(x) = f'(x)$. Para hallar la pendiente máxima, debemos encontrar el máximo absoluto de esta función $m(x)$. Calculamos los puntos críticos de $m(x)$ igualando su derivada a cero: $$m'(x) = f''(x) = 0$$ Vimos en el apartado anterior que $f''(x) = 0$ en $x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$. Estos son los candidatos a extremos de la pendiente. 💡 **Tip:** Los puntos de inflexión de una función son los puntos donde su pendiente (la derivada) alcanza un máximo o un mínimo relativo.

Evaluamos el valor de la pendiente $m(x) = f'(x) = \frac{-16x}{(1+x^2)^2}$ en los puntos críticos: 1. Para $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$: $$m\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{-16(\sqrt{3}/3)}{(1 + 1/3)^2} = \frac{-16\sqrt{3}/3}{(4/3)^2} = \frac{-16\sqrt{3}/3}{16/9} = -\frac{16\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{9}{16} = -3\sqrt{3}$$ 2. Para $x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$: $$m\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{-16(-\sqrt{3}/3)}{(4/3)^2} = 3\sqrt{3}$$ Comprobamos los límites en el infinito de la pendiente: $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{-16x}{(1+x^2)^2} = 0$$ Dado que $3\sqrt{3} \gt 0$ y $3\sqrt{3} \gt -3\sqrt{3}$, el valor máximo absoluto de la pendiente es $3\sqrt{3}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Pendiente máxima } m = 3\sqrt{3} \approx 5.196 \text{ en } x = -\frac{\sqrt{3}}{3}}$$