Asíntotas e integración por fracciones simples

**a) Las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función $\frac{f(x)}{g(x)}$. (1,6 puntos).** Sea $R(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{2x^2 + 12x - 6}{(x - 2)(x^2 + 9)}$. Para encontrar las asíntotas verticales, buscamos los valores que anulan el denominador: $$(x - 2)(x^2 + 9) = 0$$ Esto ocurre cuando $x - 2 = 0 \implies x = 2$. La expresión $x^2 + 9 = 0$ no tiene soluciones reales ya que $x^2 \ge 0$. Calculamos el límite en $x = 2$: $$\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 + 12x - 6}{(x - 2)(x^2 + 9)} = \frac{2(2)^2 + 12(2) - 6}{0 \cdot (4 + 9)} = \frac{26}{0} = \infty.$$ Como el límite es infinito, existe una asíntota vertical en $x = 2$. 💡 **Tip:** Las asíntotas verticales se encuentran en los puntos donde el denominador es cero y el numerador es distinto de cero (o el límite tiende a infinito). ✅ **Resultado (Asíntota Vertical):** $$\boxed{x = 2}$$

Para hallar las asíntotas horizontales, estudiamos el comportamiento de la función en el infinito: $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^2 + 12x - 6}{(x - 2)(x^2 + 9)} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^2 + 12x - 6}{x^3 - 2x^2 + 9x - 18}.$$ Como el grado del denominador ($3$) es mayor que el grado del numerador ($2$), el límite es $0$: $$\lim_{x \to \pm \infty} R(x) = 0.$$ Por tanto, existe una asíntota horizontal en $y = 0$. Al existir una asíntota horizontal, **no existen asíntotas oblicuas**. 💡 **Tip:** Si el grado del denominador es estrictamente mayor que el del numerador, la asíntota horizontal es siempre el eje $X$ ($y=0$). ✅ **Resultado (Asíntota Horizontal):** $$\boxed{y = 0}$$

**b) La función $H(x) = \int \frac{f(x)}{g(x)} dx$ que cumple $H(3) = \frac{\pi}{3}$. (1,7 puntos).** Descomponemos la función racional en fracciones simples, teniendo en cuenta que el denominador tiene una raíz real y un factor cuadrático irreducible: $$\frac{2x^2 + 12x - 6}{(x - 2)(x^2 + 9)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{Bx + C}{x^2 + 9}$$ Multiplicando por el denominador común: $$2x^2 + 12x - 6 = A(x^2 + 9) + (Bx + C)(x - 2)$$ Calculamos los coeficientes: - Para $x = 2$: $2(4) + 12(2) - 6 = A(4 + 9) \implies 26 = 13A \implies \mathbf{A = 2}$. - Igualando términos en $x^2$: $2 = A + B \implies 2 = 2 + B \implies \mathbf{B = 0}$. - Término independiente ($x=0$): $-6 = 9A - 2C \implies -6 = 18 - 2C \implies 2C = 24 \implies \mathbf{C = 12}$. La descomposición queda: $$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{2}{x - 2} + \frac{12}{x^2 + 9}$$

Integramos cada término por separado: $$H(x) = \int \left( \frac{2}{x - 2} + \frac{12}{x^2 + 9} \right) dx = 2 \int \frac{1}{x - 2} dx + 12 \int \frac{1}{x^2 + 9} dx.$$ La primera es inmediata: $2 \ln|x - 2|$. Para la segunda, recordamos que $\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right)$: $$12 \int \frac{1}{x^2 + 3^2} dx = 12 \cdot \frac{1}{3} \arctan\left(\frac{x}{3}\right) = 4 \arctan\left(\frac{x}{3}\right).$$ La integral general es: $$H(x) = 2 \ln|x - 2| + 4 \arctan\left(\frac{x}{3}\right) + K$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para integrar $\frac{1}{x^2+a^2}$ puedes forzar el $1$ en el denominador dividiendo todo por $a^2$ para obtener la forma de la arcotangente.

Usamos la condición inicial $H(3) = \frac{\pi}{3}$: $$H(3) = 2 \ln|3 - 2| + 4 \arctan\left(\frac{3}{3}\right) + K = \frac{\pi}{3}$$ $$2 \ln(1) + 4 \arctan(1) + K = \frac{\pi}{3}$$ Como $\ln(1) = 0$ y $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$: $$0 + 4\left(\frac{\pi}{4}\right) + K = \frac{\pi}{3}$$ $$\pi + K = \frac{\pi}{3} \implies K = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}.$$ Sustituimos $K$ en la función original: $$H(x) = 2 \ln|x - 2| + 4 \arctan\left(\frac{x}{3}\right) - \frac{2\pi}{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{H(x) = 2 \ln|x - 2| + 4 \arctan\left(\frac{x}{3}\right) - \frac{2\pi}{3}}$$