Planos paralelos, intersección con ejes y ángulos de un triángulo

**a) Las ecuaciones de los dos planos paralelos a $\pi$ que distan 5 unidades de $\pi$. (1,2 puntos).** Dos planos son paralelos si sus vectores normales son proporcionales. Dado el plano $\pi : 3x + 2y + 4z - 12 = 0$, cualquier plano $\pi'$ paralelo a él tendrá la forma: $$\pi' : 3x + 2y + 4z + D = 0$$ La distancia entre dos planos paralelos $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ y $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ viene dada por la fórmula: $$d(\pi, \pi') = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ En nuestro caso, $A=3$, $B=2$, $C=4$, $D_1 = -12$ y queremos que $d = 5$: $$5 = \frac{|D - (-12)|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + 4^2}} = \frac{|D + 12|}{\sqrt{9 + 4 + 16}} = \frac{|D + 12|}{\sqrt{29}}$$ Multiplicamos por $\sqrt{29}$: $$|D + 12| = 5\sqrt{29}$$ Esto nos da dos posibles valores para $D$: 1. $D + 12 = 5\sqrt{29} \implies D = -12 + 5\sqrt{29}$ 2. $D + 12 = -5\sqrt{29} \implies D = -12 - 5\sqrt{29}$ 💡 **Tip:** La distancia entre un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ y un plano $\pi: Ax+By+Cz+D=0$ es $d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$. La fórmula entre planos paralelos es una simplificación de esta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} \pi_1: 3x + 2y + 4z - 12 + 5\sqrt{29} = 0 \\ \pi_2: 3x + 2y + 4z - 12 - 5\sqrt{29} = 0 \end{cases}}$$

**b) Los tres puntos $A, B$ y $C$, intersección del plano $\pi$ con cada uno de los tres ejes coordenados. (0,6 puntos).** Para hallar los puntos de intersección con los ejes, anulamos las coordenadas correspondientes en la ecuación del plano $3x + 2y + 4z - 12 = 0$: * **Intersección con el eje OX ($y=0, z=0$):** $$3x + 2(0) + 4(0) - 12 = 0 \implies 3x = 12 \implies x = 4 \implies A(4, 0, 0)$$ * **Intersección con el eje OY ($x=0, z=0$):** $$3(0) + 2y + 4(0) - 12 = 0 \implies 2y = 12 \implies y = 6 \implies B(0, 6, 0)$$ * **Intersección con el eje OZ ($x=0, y=0$):** $$3(0) + 2(0) + 4z - 12 = 0 \implies 4z = 12 \implies z = 3 \implies C(0, 0, 3)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A(4, 0, 0), \quad B(0, 6, 0), \quad C(0, 0, 3)}$$

**c) Los tres ángulos del triángulo $ABC$. (1,5 puntos).** Para calcular los ángulos del triángulo formado por los puntos $A(4, 0, 0)$, $B(0, 6, 0)$ y $C(0, 0, 3)$, primero determinamos los vectores que forman sus lados y sus respectivos módulos: * Vector $\vec{AB} = B - A = (0-4, 6-0, 0-0) = (-4, 6, 0)$ $|\vec{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ * Vector $\vec{AC} = C - A = (0-4, 0-0, 3-0) = (-4, 0, 3)$ $|\vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ * Vector $\vec{BC} = C - B = (0-0, 0-6, 3-0) = (0, -6, 3)$ $|\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + (-6)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ Visualización del triángulo en el espacio:

Utilizamos la fórmula del coseno del ángulo que forman dos vectores: $\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$. **Ángulo en el vértice A ($\hat{A}$):** Formado por $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. $$\cos \hat{A} = \frac{(-4, 6, 0) \cdot (-4, 0, 3)}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{16 + 0 + 0}{2\sqrt{13} \cdot 5} = \frac{16}{10\sqrt{13}} = \frac{8}{5\sqrt{13}}$$ $$\hat{A} = \arccos\left(\frac{8}{5\sqrt{13}}\right) \approx 63.66^\circ$$ **Ángulo en el vértice B ($\hat{B}$):** Formado por $\vec{BA}$ y $\vec{BC}$. $$\vec{BA} = (4, -6, 0), \quad \vec{BC} = (0, -6, 3)$$ $$\cos \hat{B} = \frac{(4, -6, 0) \cdot (0, -6, 3)}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{0 + 36 + 0}{2\sqrt{13} \cdot 3\sqrt{5}} = \frac{36}{6\sqrt{65}} = \frac{6}{\sqrt{65}}$$ $$\hat{B} = \arccos\left(\frac{6}{\sqrt{65}}\right) \approx 41.91^\circ$$ **Ángulo en el vértice C ($\hat{C}$):** Como la suma de los ángulos de un triángulo es $180^\circ$: $$\hat{C} = 180^\circ - (63.66^\circ + 41.91^\circ) = 180^\circ - 105.57^\circ = 74.43^\circ$$ Comprobación mediante producto escalar para $\hat{C}$ (vectores $\vec{CA}$ y $\vec{CB}$): $$\vec{CA} = (4, 0, -3), \quad \vec{CB} = (0, 6, -3)$$ $$\cos \hat{C} = \frac{(4, 0, -3) \cdot (0, 6, -3)}{5 \cdot 3\sqrt{5}} = \frac{9}{15\sqrt{5}} = \frac{3}{5\sqrt{5}} \implies \hat{C} \approx 74.43^\circ$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\hat{A} \approx 63.66^\circ, \quad \hat{B} \approx 41.91^\circ, \quad \hat{C} \approx 74.43^\circ}$$