Geometría en el espacio: Rectas y planos

**a) La ecuación de la recta $r$ que pasa por el punto $P$ y es perpendicular al plano $\pi$. (1,4 puntos).** Si la recta $r$ es perpendicular al plano $\pi$, el vector director de la recta, $\vec{v}_r$, debe ser paralelo al vector normal del plano, $\vec{n}_\pi$. Dada la ecuación del plano $\pi: x - 2y + 2z + 5 = 0$, su vector normal es: $$\vec{n}_\pi = (1, -2, 2)$$ Por tanto, tomamos como vector director de la recta: $$\vec{v}_r = \vec{n}_\pi = (1, -2, 2)$$ Como la recta pasa por el punto $P(3, -1, 4)$, podemos escribir su ecuación en forma paramétrica: $$\begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = -1 - 2\lambda \\ z = 4 + 2\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para definir una recta necesitamos un punto y un vector director. Si la recta es perpendicular a un plano, el vector normal del plano nos sirve como director. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = -1 - 2\lambda \\ z = 4 + 2\lambda \end{cases} \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}}$$

**b) La ecuación de los planos que pasan por el punto $P$ y son perpendiculares al plano $\pi$. (1 punto).** Buscamos la ecuación de los planos $\alpha$ que pasan por $P(3, -1, 4)$. La ecuación general de un plano que pasa por un punto es: $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$ Sustituyendo el punto $P$: $$A(x - 3) + B(y + 1) + C(z - 4) = 0$$ Para que este plano $\alpha$ sea perpendicular al plano $\pi$, sus vectores normales deben ser ortogonales. El producto escalar de sus vectores normales debe ser cero: $$\vec{n}_\alpha \cdot \vec{n}_\pi = 0 \implies (A, B, C) \cdot (1, -2, 2) = 0$$ $$A - 2B + 2C = 0 \implies A = 2B - 2C$$ Sustituyendo $A$ en la ecuación del plano: $$(2B - 2C)(x - 3) + B(y + 1) + C(z - 4) = 0$$ Esta es la ecuación del haz de planos que cumplen la condición. 💡 **Tip:** Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales son perpendiculares entre sí (producto escalar nulo). ✅ **Resultado:** $$\boxed{(2B - 2C)(x - 3) + B(y + 1) + C(z - 4) = 0 \quad \forall B, C \in \mathbb{R} \text{ (no simultáneamente nulos)}}$$

**c) La ecuación del plano $\pi'$ que pasa por los puntos $P$ y $Q$ y es perpendicular al plano $\pi$. (0,9 puntos).** Para obtener el plano $\pi'$, necesitamos un punto y dos vectores directores (o un punto y el vector normal). 1. El plano pasa por $P(3, -1, 4)$ y $Q(1, 0, -1)$, por lo que contiene al vector: $$\vec{PQ} = Q - P = (1 - 3, 0 - (-1), -1 - 4) = (-2, 1, -5)$$ 2. Como el plano es perpendicular a $\pi$, el vector normal de $\pi$ es paralelo al plano $\pi'$: $$\vec{n}_\pi = (1, -2, 2)$$ Calculamos el vector normal de $\pi'$ mediante el producto vectorial $\vec{n}_{\pi'} = \vec{PQ} \times \vec{n}_\pi$: $$\vec{n}_{\pi'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & -5 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n}_{\pi'} = (1 \cdot 2 - (-5) \cdot (-2))\vec{i} - ((-2) \cdot 2 - (-5) \cdot 1)\vec{j} + ((-2) \cdot (-2) - 1 \cdot 1)\vec{k}$$ $$\vec{n}_{\pi'} = (2 - 10)\vec{i} - (-4 + 5)\vec{j} + (4 - 1)\vec{k} = -8\vec{i} - 1\vec{j} + 3\vec{k}$$ $$\vec{n}_{\pi'} = (-8, -1, 3)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores contenidos en el plano (o paralelos a él) nos da el vector normal del plano.

Utilizamos el vector normal $\vec{n}_{\pi'} = (-8, -1, 3)$ y el punto $P(3, -1, 4)$: $$-8(x - 3) - 1(y + 1) + 3(z - 4) = 0$$ $$-8x + 24 - y - 1 + 3z - 12 = 0$$ $$-8x - y + 3z + 11 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar: $$8x + y - 3z - 11 = 0$$ Podemos verificar que el punto $Q(1, 0, -1)$ también cumple la ecuación: $$8(1) + 0 - 3(-1) - 11 = 8 + 3 - 11 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi' : 8x + y - 3z - 11 = 0}$$