Discusión y resolución de un sistema homogéneo

**a) Deducir, razonadamente, para qué valores de $\alpha$ el sistema sólo admite la solución $(x, y, z) = (0, 0, 0)$. (1,5 puntos).** El sistema propuesto es un **sistema de ecuaciones lineales homogéneo**, ya que todos los términos independientes son cero. Este tipo de sistemas siempre son compatibles (tienen al menos la solución trivial $(0,0,0)$). Para que la única solución sea la trivial, el sistema debe ser un **Sistema Compatible Determinado (SCD)**. Según el Teorema de Rouché-Capelli, esto ocurre cuando el rango de la matriz de coeficientes $A$ es igual al número de incógnitas ($n=3$). Definimos la matriz de coeficientes $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & 7 & \alpha \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & 7 & \alpha \end{vmatrix} = (1 \cdot 3 \cdot \alpha) + (1 \cdot 4 \cdot 5) + (2 \cdot 7 \cdot 1) - (5 \cdot 3 \cdot 1 + 7 \cdot 4 \cdot 1 + \alpha \cdot 2 \cdot 1)$$ $$|A| = 3\alpha + 20 + 14 - (15 + 28 + 2\alpha) = 3\alpha + 34 - (43 + 2\alpha)$$ $$|A| = \alpha - 9$$ 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo $A X = 0$ solo tiene la solución trivial si y solo si $|A| \neq 0$.

Para que el sistema admita únicamente la solución trivial $(0,0,0)$, el determinante de la matriz de coeficientes debe ser distinto de cero: $$|A| \neq 0 \implies \alpha - 9 \neq 0 \implies \alpha \neq 9$$ **Justificación por Rouché-Capelli:** - Si $\alpha \neq 9 \implies |A| \neq 0$, por lo que $\text{rango}(A) = 3$. Al coincidir con el número de incógnitas, el sistema es **Compatible Determinado**. - En un sistema homogéneo determinado, la única solución posible es la trivial. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha \neq 9}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante es cero en un sistema homogéneo, el sistema es Compatible Indeterminado (infinitas soluciones).

**b) Resolver, razonadamente, el sistema para el valor de $\alpha$ que lo hace indeterminado. (1,8 puntos).** El sistema es indeterminado cuando $\text{rango}(A) \lt 3$, lo cual ocurre cuando $|A| = 0$, es decir, para **$\alpha = 9$**. Sustituimos $\alpha = 9$ en el sistema: $$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 3y + 4z = 0 \\ 5x + 7y + 9z = 0 \end{cases}$$ Observamos que el $\text{rango}(A) = 2$ porque el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 2 = 1 \neq 0$. Por tanto, la tercera ecuación es combinación lineal de las dos primeras y podemos prescindir de ella. Resolvemos el sistema formado por las dos primeras ecuaciones expresando $x$ e $y$ en función de $z$: 1) $x + y = -z$ 2) $2x + 3y = -4z$ Multiplicamos la primera por $-2$ y sumamos: $$-2x - 2y = 2z$$ $$2x + 3y = -4z$$ $$\text{------------------}$$ $$y = -2z$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación: $$x + (-2z) = -z \implies x = z$$ 💡 **Tip:** Para resolver un SCI, asignamos un parámetro (como $\lambda$ o $k$) a una de las variables (aquella que no formó parte del menor principal no nulo).

Tomando como parámetro $z = \lambda$ (donde $\lambda \in \mathbb{R}$), obtenemos las soluciones: $$x = \lambda$$ $$y = -2\lambda$$ $$z = \lambda$$ Podemos comprobarlo en la tercera ecuación original (la que descartamos): $5(\lambda) + 7(-2\lambda) + 9(\lambda) = 5\lambda - 14\lambda + 9\lambda = 0$. Se cumple para cualquier valor de $\lambda$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, -2\lambda, \lambda) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$