Determinante y matriz inversa con parámetros

**a) Calcular, en función de $\alpha$, el determinante de la matriz $A(\alpha)$, escribiendo los cálculos necesarios. (1,3 puntos).** Para calcular el determinante de una matriz $3 \times 3$, utilizaremos la **regla de Sarrus**, que consiste en sumar los productos de los elementos de la diagonal principal y sus paralelas, y restar los productos de los elementos de la diagonal secundaria y sus paralelas. Dada la matriz $A(\alpha) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \alpha-2 \\ 4 & 3 & 2 \\ \alpha & \alpha & -6 \end{pmatrix}$, planteamos el determinante: $$\det(A(\alpha)) = \begin{vbar} 1 & 2 & \alpha-2 \\ 4 & 3 & 2 \\ \alpha & \alpha & -6 \end{vbar}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el determinante de una matriz $3 \times 3$ se calcula como: $\det(A) = (a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}) - (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33})$.

Desarrollamos el determinante aplicando la regla de Sarrus paso a paso: **Términos positivos:** - Diagonal principal: $1 \cdot 3 \cdot (-6) = -18$ - Paralela superior: $2 \cdot 2 \cdot \alpha = 4\alpha$ - Paralela inferior: $4 \cdot \alpha \cdot (\alpha-2) = 4\alpha^2 - 8\alpha$ Suma de términos positivos: $-18 + 4\alpha + 4\alpha^2 - 8\alpha = \mathbf{4\alpha^2 - 4\alpha - 18}$ **Términos negativos (restamos):** - Diagonal secundaria: $(\alpha-2) \cdot 3 \cdot \alpha = 3\alpha^2 - 6\alpha$ - Paralela superior: $2 \cdot 4 \cdot (-6) = -48$ - Paralela inferior: $2 \cdot \alpha \cdot 1 = 2\alpha$ Suma de términos negativos: $(3\alpha^2 - 6\alpha) + (-48) + 2\alpha = \mathbf{3\alpha^2 - 4\alpha - 48}$

Restamos ambas expresiones para obtener el valor del determinante en función de $\alpha$: $$\det(A(\alpha)) = (4\alpha^2 - 4\alpha - 18) - (3\alpha^2 - 4\alpha - 48)$$ Operamos eliminando los paréntesis: $$\det(A(\alpha)) = 4\alpha^2 - 4\alpha - 18 - 3\alpha^2 + 4\alpha + 48$$ Agrupamos los términos semejantes: $$\det(A(\alpha)) = (4\alpha^2 - 3\alpha^2) + (-4\alpha + 4\alpha) + (-18 + 48)$$ $$\det(A(\alpha)) = \alpha^2 + 30$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\det(A(\alpha)) = \alpha^2 + 30}$$

**b) Determinar, razonadamente, los números reales $\alpha$ para los que el determinante de la matriz inversa de $A(\alpha)$ es igual a $1/66$. (2 puntos).** Para resolver este apartado, aplicamos una propiedad fundamental de los determinantes: el determinante de la matriz inversa es el recíproco del determinante de la matriz original. $$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$$ El enunciado nos indica que $\det(A(\alpha)^{-1}) = \frac{1}{66}$. Por tanto, igualamos: $$\frac{1}{\det(A(\alpha))} = \frac{1}{66} \implies \det(A(\alpha)) = 66$$ 💡 **Tip:** Esta propiedad es válida siempre que $\det(A) \neq 0$, lo cual ocurre en este caso para cualquier $\alpha \in \mathbb{R}$ ya que $\alpha^2 + 30$ siempre es positivo.

Sustituimos la expresión del determinante hallada en el apartado anterior: $$\alpha^2 + 30 = 66$$ Despejamos $\alpha^2$ restando 30 en ambos miembros: $$\alpha^2 = 66 - 30$$ $$\alpha^2 = 36$$ Para hallar $\alpha$, calculamos la raíz cuadrada de ambos lados, recordando que existen dos posibles soluciones reales (positiva y negativa): $$\alpha = \pm \sqrt{36}$$ $$\alpha = \pm 6$$ Ambas soluciones son números reales, por lo que son válidas. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\alpha = 6 \quad \text{y} \quad \alpha = -6}$$