Rango de una matriz con parámetros e inversa

**a) (1 punto). Estudiar el rango de la matriz $A$ según los valores del parámetro $a$.** Para estudiar el rango de la matriz $A$, primero calculamos su determinante en función del parámetro $a$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = (a \cdot a \cdot a) + (1 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 1) - [(1 \cdot a \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot a) + (a \cdot 1 \cdot 1)]$$ Simplificamos la expresión: $$|A| = a^3 + 1 + 1 - (a + a + a) = a^3 - 3a + 2$$ 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es distinto de cero, su rango es $3$.

Para saber cuándo el determinante es cero, resolvemos la ecuación $a^3 - 3a + 2 = 0$. Probamos raíces enteras (divisores de 2) y vemos que $a = 1$ es raíz ($1 - 3 + 2 = 0$). Aplicamos la regla de Ruffini para factorizar: $$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & -3 & 2 \\ 1 & & 1 & 1 & -2 \\\hline & 1 & 1 & -2 & 0 \end{array}$$ La ecuación queda $(a - 1)(a^2 + a - 2) = 0$. Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos las raíces $a = 1$ y $a = -2$. Por tanto: $$|A| = (a - 1)^2(a + 2)$$ El determinante se anula para **$a = 1$** y **$a = -2$**.

Analizamos los distintos casos para el rango de $A$: - **Caso 1: $a \neq 1$ y $a \neq -2$** Si $a$ es distinto de $1$ y $-2$, entonces $|A| \neq 0$. Por lo tanto, el rango de la matriz es máximo. $$\boxed{\text{Si } a \neq 1, -2 \implies \text{rang}(A) = 3}$$ - **Caso 2: $a = 1$** La matriz resulta: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Como todas las filas son iguales y hay elementos distintos de cero: $$\boxed{\text{Si } a = 1 \implies \text{rang}(A) = 1}$$ - **Caso 3: $a = -2$** La matriz resulta: $$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rang}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3 \neq 0$$ $$\boxed{\text{Si } a = -2 \implies \text{rang}(A) = 2}$$

**b) (1 punto). Obtener la matriz inversa de $A$ para $a = -1$.** Primero, comprobamos si la matriz es inversible calculando su determinante para $a = -1$. Usando la fórmula hallada en el apartado anterior: $$|A| = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$$ Como $|A| = 4 \neq 0$, la matriz $A$ tiene inversa. La fórmula de la inversa es: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A^t)$$ Para $a = -1$, la matriz es: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Una matriz tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero.

Como $A$ es simétrica ($A = A^t$), calculamos directamente la matriz adjunta de $A$ hallando los cofactores de cada elemento: $$A_{11} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2, \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2$$ $$A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2, \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2$$ $$A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 2, \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2, \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El signo del adjunto se rige por $(-1)^{i+j}$, siguiendo un patrón de tablero de ajedrez.

Aplicamos la fórmula final dividiendo cada elemento de la adjunta por el determinante $|A| = 4$: $$A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \end{pmatrix}}$$